Найти предел
\(\lim_{n->\infty} \frac{1}{n^{2}} \sum_{k=1}^{n}\sqrt{n^{2}-k^{2}}\)
Подскажите, пожалуйста, как это делать...
Найти предел
Re: Найти предел
Это задача на вычисление предела с помощью определённого интеграла.
Если записать заданный предел вот так:
то можно заметить, что выражение \(\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\sqrt{1-\left(\frac{k}{n}\right)^2}\) есть интегральная сумма функции \(f(x)=\sqrt{1-x^2}\) на отрезке \([0;1]\) при условии того, что отрезок делится на \(n\) равных частей. Соответственно, предел данной суммы будет равен определённому интегралу от функции \(f(x)\) на указанном отрезке.
Если записать заданный предел вот так:
\(
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}\sum\limits_{k=1}^{n}\sqrt{n^2-k^2}
=\lim_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\sqrt{1-\left(\frac{k}{n}\right)^2},
\)
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}\sum\limits_{k=1}^{n}\sqrt{n^2-k^2}
=\lim_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\sqrt{1-\left(\frac{k}{n}\right)^2},
\)
то можно заметить, что выражение \(\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\sqrt{1-\left(\frac{k}{n}\right)^2}\) есть интегральная сумма функции \(f(x)=\sqrt{1-x^2}\) на отрезке \([0;1]\) при условии того, что отрезок делится на \(n\) равных частей. Соответственно, предел данной суммы будет равен определённому интегралу от функции \(f(x)\) на указанном отрезке.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: Найти предел
Разобралась, спасибо большое, всё понятно)