Страница 1 из 1
Доказать по определению предела, что
Добавлено: 26 дек 2019, 06:38
nikass88
Доказать по определению предела, что
Только 1.5 задание
Re: Доказать по определению предела, что
Добавлено: 26 дек 2019, 22:34
Алексей
Посмотрите пример и решите по аналогии.
Докажем, что
\(\lim_{n\to\infty}a_n=a\), если
\(a_n=\frac{2n+3}{n+5}\),
\(a=2\).
Число
\(a=2\) будет пределом последовательности
\(\left\{a_n\right\}\), если для любого
\(\varepsilon\gt{0}\) существует такой номер
\(N(\varepsilon)\), что для всех номеров
\(n\ge{N(\varepsilon)}\) выполняется неравенство
\(\left|a_n-2\right|\lt\varepsilon\).
С учётом того, что
\(n+5\gt{0}\) при всех
\(n\in{N}\), получим:
\(
\left|a_n-2\right|
=\left|\frac{2n+3}{n+5}-2\right|
=\left|-\frac{7}{n+5}\right|
=\frac{7}{n+5}.
\)
Следовательно, неравенство
\(\left|a_n-2\right|\lt\varepsilon\) будет выполнено при
\(\frac{7}{n+5}\lt\varepsilon\), откуда получим:
\(
n\gt\frac{7}{\varepsilon}-5\;\;\; (*)
\)
Таким образом, в качестве номера
\(N(\varepsilon)\) можно взять любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству (*).
Так как
\(\left[\frac{7}{\varepsilon}-5\right]\ge{-5}\), то число
\(\left[\frac{7}{\varepsilon}-5\right]+6\) - натуральное. При этом
\(\left[\frac{7}{\varepsilon}-5\right]+6\gt\frac{7}{\varepsilon}-5\), т.е. рассматриваемое число удовлетворяет неравенству (*). Следовательно, принимая
\(N(\varepsilon)=\left[\frac{7}{\varepsilon}-5\right]+6\) получим, что при всех
\(n\ge{N(\varepsilon)}\) выполнено неравенство
\(\left|a_n-a\right|\lt\varepsilon\), что и доказывает утверждение
\(\lim_{n\to\infty}a_n=a\).
Re: Доказать по определению предела, что
Добавлено: 18 фев 2020, 20:00
Rita
Помогите решить, пожалуйста!
lim(x→0)〖(x^2-25)/(√(x-1)-2)〗=40
x-0
Re: Доказать по определению предела, что
Добавлено: 18 фев 2020, 20:15
Алексей
Rita писал(а): ↑18 фев 2020, 20:00
Помогите решить, пожалуйста!
lim(x→0)〖(x^2-25)/(√(x-1)-2)〗=40
x-0
Я не понимаю вашу запись. Напишите или в редакторе формул, или сделайте скриншот и вставьте в сообщение.