Форум сайта AMKbook.Net

Добрый день! У нас начались ряды, но там уже есть вопрос. Задача: проверить сходимость ряда \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+3}{\sqrt{n^5+7}}\).

Я немного подправил тему, записав Вашу задачу с помощью редактора формул. Сама задача довольно проста. Проверка на сходимость подобного ряда осуществляется с помощью признака сравнения (в форме неравенства или в предельной форме). Вам на лекции давали этот признак?

И простите моё любопытство: вы на заочном учитесь?

Да, я на заочном. А как вы догадались? Лекция у нас была, но очень сжато, я не совсем понял.

Догадаться несложно насчёт заочного Вы спрашивали про дифуры, а потом про ряды, причём буквально через несколько дней, значит, у вас начитка лекций.

Насчет ряда и признака сравнения. Суть вопроса проста. Напомню, что ряд - это сумма бесконечного количества элементов (членов ряда). Например, \(1+2+3+4+5+6+\ldots\). Вопрос в том, равна ли эта бесконечная сумма, грубо говоря, какому-то числу или нет. Например,

\(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\ldots\)

У этого ряда есть сумма и равна она числу 2. В этом случае говорят, что ряд сходится. У ряда \(1+2+3+4+5+6+\ldots\) сумма равна бесконечности, т.е. он расходится.

Теперь поговорим о рядах с положительными членами. Представьте, что вы точно знаете, что некий ряд имеет сумму. Если мы уменьшим члены этого ряда, разве сумма исчезнет? Сумма не исчезнет, - просто уменьшится. Т.е., если ряд я бо'льшими элементами сходится (имеет сумму), то и ряд с меньшими элементами тоже сходится.

И с обратной стороны: если ряд с меньшими элементами не имеет суммы, то и ряд с бо'льшими элементами не имеет суммы, т.е. расходится.

И этот признак применяется в моем случае?

Дело в том, что есть некоторые типы "эталонных" рядов, с которыми обычно и сравнивают заданные ряды. В вашем случае нужно сравнить с рядом вида \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\alpha}}\). Если \(\alpha>1\), то ряд сходится, если \(\alpha \leqslant 1\), то ряд расходится.

Теперь рассмотрим исходный ряд \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+3}{\sqrt{n^5+7}}\). Обратимся к общему члену этого ряда, т.е. \(u_n=\frac{n+3}{\sqrt{n^5+7}}\). Если из знаменателя убрать число 7, то знаменатель уменьшится, что приведёт к увеличению всей дроби. Кроме того, если числитель тоже увеличим: \(n+3<n+3n=4n\). Тем самым мы увеличим дробь.

\(u_n=\frac{n+3}{\sqrt{n^5+7}}<\frac{4n}{\sqrt{n^5}}=4\cdot\frac{n}{n^{\frac{5}{2}}}=4\cdot\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\)

Ряд \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\) сходится, так как \(\frac{3}{2}>1\). Так как ряд \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\) сходится, то будет сходиться и ряд \(\sum_{n=1}^{\infty}\left( 4\cdot\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\right)\). Так как \(\frac{n+3}{\sqrt{n^5+7}}<4\cdot\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\) и ряд \(\sum_{n=1}^{\infty}\left( 4\cdot\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\right)\) сходится, то согласно признаку сравнения будет сходиться и ряд \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+3}{\sqrt{n^5+7}}\).