Форум сайта AMKbook.Net

Для гиперболы, изображенной на рис. \(A_{1} A_{2}\)- вершины \(F_{1} F_{2}\)- фокусы,\(P_{1} Q\)- концы фокальной хорды,\(D_{1} D_{2}\)- точки пересечения директрис с фокальной осью. O - центр гиперболы. Найдите эксцентриситет этой гиперболы, если известно. что \(\cos\angle PD_{2}Q=\frac{1}{2}\)
Ответ: \(\varepsilon=1\). Спасибо.

Ваши идеи?

cos \(\angle PD_{2}Q=\frac{1}{2}.\) угол равен \(60^{\circ}\), рассматриваем угол \(PD_{2}F_{1},\) \(cos\) этого угла равен отношению \(\frac{F_{1}D_{2}}{PD_{2}}\), а эксцентриситет равен \(\frac{PD_{2}}{F_{1}D_{2}}\Rightarrow\)\(cosPD_{2}F_{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}\), а эксцентриситет\(\frac{2}{\sqrt{3}}=1,2\). Спасибо.

Не совсем понимаю, почему вы решили, что это отношение будет искомым эксцентриситетом. Из директориального свойства, как мне кажется, это не следует. И как у вас в изначальном ответе вышел эксцентриситет, равным 1, тоже не совсем понимаю - у гиперболы \(\varepsilon > 1\).