Найти геометрическое место центров окружностей, проходящих через точку А (-1;4) и касающихся окружностей
\(x^{2}+y ^{2}+18x+8y-3=0\)
\(y=\sqrt{(x+1)^{2}+ (y-4)^{2} }\)
\((y)^{2}=(\sqrt{(x+1)^{2}+ (y-4)^{2} })^{2}\)
\(y^{2}=(x+1)^{2}+(y-4)^{2}\)
\(y^{2}-(y-4)^{2}=(x+1)^{2}\)
\(y^{2}-(y^{2}-8y+16)=(x+1)^{2}\)
\(y^{2}-y^{2}+8y-16=(x+1)^{2}\)
\(8y=(x+1)^{2}+16\)
\(y=\frac{ (x+1)^{2} }{ 8 }+2\)
\(x^{2}+18x)+(y ^{2}+8y)-3=0\)
\((x^{2}+18x+81)-81+(y ^{2}+8y+16)-16-3=0\)
\((x+9)^{2}+(y+4)^{2}-100=0\)
\((x+9)^{2}+(y+4)^{2}=100\)
Составить общее уравнение кривой второго порядка с целыми несократимыми коэффициентами, первый ненулевой коэффициент положительный. Спасибо.
Составить общее уравнение кривой второго порядка
Re: Составить общее уравнение кривой второго порядка
У вас говорится про окружности, однако записано уравнение лишь одной окружности. Это опечатка или просто не хватает ещё одного уравнения?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: Составить общее уравнение кривой второго порядка
Второго уравнения нет.
Re: Составить общее уравнение кривой второго порядка
Тогда, насколько я понимаю, условие должно быть таким:
Для начала стоит отметить, что заданная нам окружность (обозначим её \(\alpha\)) имеет центр в точке \(O(-9;-4)\) и радиус \(R=10\). Несложно показать, что точка \(A\) лежит вне \(\alpha\). Для этого достаточно учесть, что для всех точек, расположенных внутри и на окружности \(\alpha\), выполнено такое неравенство:Найти геометрическое место центров окружностей, проходящих через точку \(A(-1;4)\) и касающихся окружности \(x^2+y^2+18x+8y-3=0\).
\((x+9)^2+(y+4)^2\leqslant{10}\)
Подставляя координаты точки \(A\) в данное неравенство, убеждаемся, что точка \(A\) лежит вне \(\alpha\), так как неравенство не выполнено.
Пусть \(M(x,y)\) - точка, принадлежащая искомому геометрическому множеству точек, т.е. \(M(x,y)\) - центр окружности, которая проходит через точку \(A(-1;4)\) и касается \(\alpha\). Имеем два варианта расположения окружности с центром в точке \(M(x,y)\) и окружности \(\alpha\):
Для данных окружностей имеем: \(r=AM\), \(|OM-r|=R\) (убедитесь в этом самостоятельно). Таким образом, \(|OM-AM|=10\). Так как \(AM=\sqrt{(x+1)^2+(y-4)^2}\), \(OM=\sqrt{(x+9)^2+(y+4)^2}\), то получим следующее равенство:
\(
\left|\sqrt{(x+9)^2+(y+4)^2}-\sqrt{(x+1)^2+(y-4)^2}\right|=10
\)
\left|\sqrt{(x+9)^2+(y+4)^2}-\sqrt{(x+1)^2+(y-4)^2}\right|=10
\)
Далее остаётся лишь упростить полученное выражение. Можно попробовать начать с того, что возвести обе части равенства в квадрат. Разумеется, все изложенные выше рассуждения надо перепроверить. У меня получился такой результат:
\(9x^2-32xy+90x+9y^2-160y+400=0\)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: Составить общее уравнение кривой второго порядка
Уравнение такое получилось. Спасибо.