Найти производную производную по определению

[0201400]

Найти производную производную по определению в точка 0 и pi
\(f(x) = \sqrt{\sin x^2}\)

[Алексей]

Для начала тут стоит отметить, что \(\sin\pi^2<0\), т.е. точка \(x=\pi\) не входит в область определения заданной функции. Посему и производной в ней нет. А вот точку \(x=0\) уже стоит рассмотреть. Обратимся к соответствующему пределу:

\(\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(\Delta x)-f(0)}{\Delta x}\).

Так как \(f(x) = \sqrt{\sin x^2}\), то \(f(0)=0\) и \(f(\Delta x)=\sqrt{\sin \Delta x^2}\). Полученный выше предел теперь примет вид:

\(\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sqrt{\sin \Delta x^2}}{\Delta x}\).

Так как при \(\Delta x\to 0\) имеем \(\sin\Delta x^2\sim\Delta x^2\), то:


\(\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sqrt{\sin \Delta x^2}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sqrt{\Delta x^2}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{|\Delta x|}{\Delta x}\).

Если \(\Delta x\to 0+0\), то \(\lim_{\Delta x\to 0+0}\frac{|\Delta x|}{\Delta x}=1\); если же \(\Delta x\to 0-0\), то \(\lim_{\Delta x\to 0-0}\frac{|\Delta x|}{\Delta x}=-1\). Несовпадение значений односторонних производных говорит о том, что значение производной в точке \(x=0\) не определено.