Исследовать на дифференцируемость
\(f(x)=x^2 |\cos \frac{\pi}{x}|, x\neq 0\)
\(f(0)=0\)
Исследовать на дифференцируемость
Re: Исследовать на дифференцируемость
Необходимо найти \(\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\). В нашем случае \(x=0\), поэтому:
\(\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(\Delta x)-f(0)}{\Delta x}\)
Так как \(f(0)=0\) и \(f(\Delta x)=\Delta x^2 \left|\cos \frac{\pi}{\Delta x}\right|\), то:
\(\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta x^2 \left|\cos \frac{\pi}{\Delta x}\right|}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\left( |\Delta x|\cdot \left|\cos \frac{\pi}{\Delta x}\right|\right)\).
Так как функция \(\left|\cos \frac{\pi}{\Delta x}\right|\) ограниченная, а \(|\Delta x|\) - бесконечно малая при \(\Delta x\to 0\), то \(\lim_{\Delta x\to 0}\left( |\Delta x|\cdot \left|\cos \frac{\pi}{\Delta x}\right|\right)=0\).
Следовательно, производная в точке \(x=0\) существует и равна нулю.
\(\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(\Delta x)-f(0)}{\Delta x}\)
Так как \(f(0)=0\) и \(f(\Delta x)=\Delta x^2 \left|\cos \frac{\pi}{\Delta x}\right|\), то:
\(\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta x^2 \left|\cos \frac{\pi}{\Delta x}\right|}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\left( |\Delta x|\cdot \left|\cos \frac{\pi}{\Delta x}\right|\right)\).
Так как функция \(\left|\cos \frac{\pi}{\Delta x}\right|\) ограниченная, а \(|\Delta x|\) - бесконечно малая при \(\Delta x\to 0\), то \(\lim_{\Delta x\to 0}\left( |\Delta x|\cdot \left|\cos \frac{\pi}{\Delta x}\right|\right)=0\).
Следовательно, производная в точке \(x=0\) существует и равна нулю.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"