Разложить по Маклорену до x^n
Добавлено: 12 фев 2014, 19:51
Разложить по Маклорену до \(x^n\)
\(f(x) = arth(x)\)
\(f(x) = arth(x)\)
Для разложения в ряд Маклорена найдём для начала производную заданной функции: \(y'=\frac{1}{1-x^2}\).
Выражение \(\frac{1}{1-x^2}\) есть сумма геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем \(x^2\), т.е.
\(\frac{1}{1-x^2}=1+x^2+x^4+x^6+\ldots=\sum_{n=0}^{\infty}x^{2n}\)
Полученное разложение верно в пределах \(|x|<1\).
Интегрируя полученное разложение в пределах от 0 до x, получим:
\(y=\int\limits_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}t^{2n}dt=\sum_{n=0}^{\infty}\int\limits_{0}^{x}t^{2n}dt=\sum_{n=0}^{\infty}\left. \frac{t^{2n+1}}{2n+1}\right|_{0}^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\).