Страница 1 из 1
Отношения строгого порядка. Как такое может быть??
Добавлено: 04 авг 2017, 16:44
Mathlife
Самостоятельно изучаю высшую математику. Перешла к изучению отношений. Отношением порядка является то, которое тразитивно и антисимметрично. Строгим при этом является то, которое антирефлексивно. В пример приводят отношение < (меньше). С транзитивностью и антирефлексивностью все понятно. Но как оно может быть антисимметрично? Ведь тогда получается, что если а<в и в<а, то а=в. Как так то? Да и получается, что это противоречит антирефлексивности?
Что я не правильно поняла?
Re: Отношения строгого порядка. Как такое может быть??
Добавлено: 04 авг 2017, 18:14
Алексей
Видите ли, для элементов числового множества, на котором определено отношение \(<\), невозможно одновременное выполнение неравенств \(a<b\) и \(b<a\). Например, условия \(2<3\) и \(3<2\) не выполнимы одновременно.
Re: Отношения строгого порядка. Как такое может быть??
Добавлено: 05 авг 2017, 01:38
Mathlife
Добрый Волк писал(а): ↑04 авг 2017, 18:14
Видите ли, для элементов числового множества, на котором определено отношение
\(<\), невозможно одновременное выполнение неравенств
\(a<b\) и
\(b<a\). Например, условия
\(2<3\) и
\(3<2\) не выполнимы одновременно.
Я это понимаю. Отсюда и вопрос. Почему тогда идёт утверждение, что данное отношение антисимметрично, когда антисимметричность как раз говорит об обратном?
Re: Отношения строгого порядка. Как такое может быть??
Добавлено: 05 авг 2017, 11:09
Алексей
Антисимметричность не говорит об обратном
Отношение строгого порядка антирефлексивно. Оно не содержит ни одной пары вида
\((x,x)\), т.е. в любой паре
\((x,y)\) имеем
\(x\neq{y}\).
Антисимметричность, в этом случае (для антирефлексивного отношения), по сути, говорит о следующем: пары
\((x,y)\) и
\((y,x)\) не могут одновременно принадлежать отношению. И для отношения
\(<\) это действительно выполнено.
Можно подойти к вопросу и более формально. Согласно определению, отношение
\(R\) антисимметрично, если истинно такое высказывание:
\(xRy\wedge{yRx}\Rightarrow{x=y}\)
Для отношения
\(<\) это означает, что:
\(x<y\wedge{y<x}\Rightarrow{x=y}\)
Истинно лишь одно из высказываний:
\(x<y\) или
\(y>x\), поэтому
\(x<y\wedge{y<x}\;=\;FALSE\). Предикат
\(x=y\) ложен для всех пар из отношения
\(<\), т.е. для всех элементов отношения
\(<\) предикат
\(xRy\wedge{yRx}\Rightarrow{x=y}\) примет вид:
\(\;FALSE\Rightarrow{FALSE}\;=\;TRUE\)
Т.е. предикат
\(xRy\wedge{yRx}\Rightarrow{x=y}\) истинный для всех элементов данного отношения.
Re: Отношения строгого порядка. Как такое может быть??
Добавлено: 05 авг 2017, 21:14
Mathlife
Добрый Волк писал(а): ↑05 авг 2017, 11:09
Антисимметричность не говорит об обратном
Отношение строгого порядка антирефлексивно. Оно не содержит ни одной пары вида
\((x,x)\), т.е. в любой паре
\((x,y)\) имеем
\(x\neq{y}\).
Антисимметричность, в этом случае (для антирефлексивного отношения), по сути, говорит о следующем: пары
\((x,y)\) и
\((y,x)\) не могут одновременно принадлежать отношению. И для отношения
\(<\) это действительно выполнено.
Можно подойти к вопросу и более формально. Согласно определению, отношение
\(R\) антисимметрично, если истинно такое высказывание:
\(xRy\wedge{yRx}\Rightarrow{x=y}\)
Для отношения
\(<\) это означает, что:
\(x<y\wedge{y<x}\Rightarrow{x=y}\)
Истинно лишь одно из высказываний:
\(x<y\) или
\(y>x\), поэтому
\(x<y\wedge{y<x}\;=\;FALSE\). Предикат
\(x=y\) ложен для всех пар из отношения
\(<\), т.е. для всех элементов отношения
\(<\) предикат
\(xRy\wedge{yRx}\Rightarrow{x=y}\) примет вид:
\(\;FALSE\Rightarrow{FALSE}\;=\;TRUE\)
Т.е. предикат
\(xRy\wedge{yRx}\Rightarrow{x=y}\) истинный для всех элементов данного отношения.
Спасибо! Вроде разобралась
А не могли бы Вы привести ещё примеры отношений строгого порядка, не связанных со знаками "меньше/больше", пожалуйста?
Re: Отношения строгого порядка. Как такое может быть??
Добавлено: 05 авг 2017, 22:55
Алексей
Чтобы вам было ещё понятнее, приведу одно свойство, которое является необходимым и достаточным для антисимметричности:
Бинарное отношение \(R\) на множестве \(X\) антисимметрично тогда и только тогда, когда \(R\cap{R^{-1}}\subseteq\id{X}\)
Запись
\(\id{X}\) означает диагональ множества
\(X\), т.е. множество всех пар вида
\((a,a)\), где
\(a\in{X}\).
Попробуйте самостоятельно применить записанное выше свойство для отношения
\(<\), заданного на некоем числовом множестве
\(X\), элементы которого являются действительными числами.
Что касается вопроса относительно примера антисимметричного множества: пусть задано множество
\(X=\{a,b,c,d\}\) и отношение
\(R=\{(a,a), (a,c), (d,b), (d,d)\}\). Это отношение является антисимметричным. Можете доказать это как с использованием стандартного определения, так и с применением записанного выше свойства.