Форум сайта AMKbook.Net

\( 2-3i,\cos{ \varphi }-\boldsymbol{i}\sin{ \boldsymbol{\varphi} }, 0 \leqslant\boldsymbol{\varphi}\leqslant\frac{ \boldsymbol{\pi} }{ 2} ,

\left| \boldsymbol{z} \right|=\sqrt{ \boldsymbol{a} ^{2} + \boldsymbol{b^{2} } }=\sqrt{2^{2} + (-3)^{2} }= \sqrt{13},

\arg{ \boldsymbol{z} }= \operatorname{arctg}\frac{ \boldsymbol{b} }{ \boldsymbol{a} }=\operatorname{arctg}\frac{ 2 }{ - 3 }\)

Подскажите в чем ошибка? Спасибо

Дело в том, что у вас \(a=2\), \(b=-3\). Поэтому \(\arg(2-3i)=\arctg\frac{-3}{2}=-\arctg\frac{3}{2}\).

\(|z|=\sqrt{13}(cos(-arctg(\frac{3}{2})+2\pi+i sin(-arctg(\frac{3}{2})+2\pi)\)
Теперь запись числа правильная?Как правильно определить в какой четверти находится число \( (-arctg(\frac{3}{2})+2\pi+i sin(-arctg(\frac{3}{2}+2\pi))\)? Спасибо.

Для того, чтобы выяснить, в какой четверти находится комплексное число, его вовсе не обязательно записывать в тригонометрической форме . Для числа \(z=2-3i\) имеем: \( \Re{z}=2>0 \), \(\Im{z}=-3<0 \). Следовательно, точка, соответствующая данному числу, находится в четвёртой четверти.

Если вести речь про тригонометрическую форму комплексного числа, что обозначение \(\varphi \) в выражении \(|z|\cdot\left(\cos\varphi+i\sin\varphi \right) \) означает не всё множество возможных значений аргумента, а главное значение аргумента, т.е. значение аргумента, принадлежащее промежутку \((-\pi;\pi]\). Формулу для нахождения главного значения аргумента я указал ниже:
Таким образом, в вашем случае \(\varphi=\arctg\frac{-3}{2}=-\arctg\frac{3}{2}\). И тригонометрическая форма будет такой: