Форум сайта AMKbook.Net

Пожалуйста, подскажите, как решать
2^(0.5x)= 3^(-0.5x)+5/3

пыталась
2^(0.5x)=\( \sqrt{2}^{x}\)}[/tex]
3^(-0.5x)= 1 \\(\sqrt{3}^{x}\) =\((\sqrt{3}/3)^{x}\)

Спасибо!

Не совсем понятно, какой из двух вариантов имеется в виду: \( 2^{0,5x}=3^{-0,5x}+\frac{5}{3}\) или \(2^{0,5x}=3^{-0,5x+\frac{5}{3}}\)?

Да, первый вариант,
подбором х=2
и доказать, что других корней нет?
А можно ли как иначе?

Ну, доказать отсутствие иных корней можно. Рассмотрим функцию \( f(x)=2^{0,5x}-3^{-0,5x}-\frac{5}{3}\). Её область определения: \(D(f)=R\), т.е. она определена на всей числовой оси. Вы нашли один корень исходного уравнения, т.е. показали, что \(f(2)=0\).


Так как \(2^{0,5x}>0\) и \(3^{-0,5x}>0\) при всех \(x\in{R}\), а также истинны неравенства \(\ln{2}>0\) и \(\ln{3}>0\), то \(f'(x)>0\) при всех \(x\in{D(f)}\). Следовательно, функция \(f(x)\) возрастает на всей области определения.

Отсюда следует, что при всех \(x>2\) имеем \(f(x)>f(2)\), т.е. \(f(x)>0\). А при всех \(x<2\) имеем \(f(x)<f(2)\), т.е. \(f(x)<0\). Таким образом, есть только одна точка, в которой \(f(x)=0\) - это точка \(x=2\). Следовательно, исходное уравнение не имеет иных корней кроме \(x=2\).

А так чтобы без подбора есть способ найти корни?
Спасибо!

Может, графическим способом - преобразовать левую и правую части так, чтобы точка пересечения графиков была очевидна после элементарных преобразований. Другого варианта (кроме численных методов) пока что не наблюдаю.

Спасибо за разъяснение!