Когда вы ищете производную по одной переменной, то все иные полагаются просто константами. Например, если вы находите производную по х, то у полагается некоей постоянной величиной. И работать с ней нужно соответственно.
Например, найдём производную функции
\(z=\frac{x}{3y-2x}\) по переменной x. Есть стандартная формула
\(\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\) из
таблицы производных, которую и станем использовать:
\(z_{x}^{'}=\frac{(x)_{x}^{'}\cdot(3y-2x)-x\cdot(3y-2x)_{x}^{'}}{(3y-2x)^2}\)
Производная от х по х равна 1, т.е.
\((x)_{x}^{'}=1\). А производную
\((3y-2x)_{x}^{'}\) разложим по формуле производной разности:
\((3y-2x)_{x}^{'}=(3y)_{x}^{'}-(2x)_{x}^{'}\)
Мы берём производную по переменной x, поэтому 3y - константа. Производная константы равна нулю, следовательно
\((3y)_{x}^{'}=0\). Далее,
\((2x)_{x}^{'}=2\cdot(x)_{x}^{'}=2\cdot 1=2\). Итак,
\((3y-2x)_{x}^{'}=0-2=-2\). Возвращаясь к производной
\(z_{x}^{'}\), будем иметь:
\(z_{x}^{'}=\frac{(x)_{x}^{'}\cdot(3y-2x)-x\cdot(3y-2x)_{x}^{'}}{(3y-2x)^2}=\frac{1\cdot(3y-2x)-x\cdot(-2)}{(3y-2x)^2}\)
Остаётся просто раскрыть скобки в числителе и упростить выражение. Производная по y находится аналогично.