Два дифура
Два дифура
Здравствуйте. Можете помочь? Мне для допуска надо пару дифуров сделать: y''-4y'-5y=10e^3x, y"-4y'-5y=0. Я уже забыл это всё, читать сейчас времени нет, мне именно с ходом решения разабраться.
Re: Два дифура
Поможем, поможем Давайте начнём с второго дифура:
\(y''-4y'-5y=0\)
Если вы хотите разобраться в самом алгоритме, то он, поверьте на слово, очень и очень несложен. Для начала сделайте такую замену: \(y''\) замените на \(k^2\), \(y'\) замените на \(k\), а \(y\) просто уберите. То уравнение, которое вы получите, запишите - и с ним поработаем
\(y''-4y'-5y=0\)
Если вы хотите разобраться в самом алгоритме, то он, поверьте на слово, очень и очень несложен. Для начала сделайте такую замену: \(y''\) замените на \(k^2\), \(y'\) замените на \(k\), а \(y\) просто уберите. То уравнение, которое вы получите, запишите - и с ним поработаем
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: Два дифура
Спасибо за быстрый ответ! Заменил: k^2-4k-5=0. Что с ним дальше?
Re: Два дифура
А дальше решаете его. На всякий случай напишу вам, как решаются такие уравнения:
\(ax^2+bx+c=0; \\ D=b^2-4ac; \\ x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}; x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}.\)
Пример:
\(x^2-2k-3=0\)
Здесь \(a=1, b=-2, c=-3\).
\(D=(-2)^2-4\cdot 1 \cdot (-3)=4+12=16 \\ x_1=\frac{-(-2)-\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{2-4}{2}=-1; x_2=\frac{-(-2)+\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{2+4}{2}=3.\)
Вот и решите ваше уравнение.
\(ax^2+bx+c=0; \\ D=b^2-4ac; \\ x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}; x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}.\)
Пример:
\(x^2-2k-3=0\)
Здесь \(a=1, b=-2, c=-3\).
\(D=(-2)^2-4\cdot 1 \cdot (-3)=4+12=16 \\ x_1=\frac{-(-2)-\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{2-4}{2}=-1; x_2=\frac{-(-2)+\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{2+4}{2}=3.\)
Вот и решите ваше уравнение.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: Два дифура
Ну вы прям так подробно расписали это я еще помню по школе там все просто k1=-1; k2=5.
Re: Два дифура
А теперь применяете схему, которая указана на изображении, и получаете готовый ответ.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: Два дифура
Да тут вообще все элементарно получается Сразу из первого пункта y=c1*e^-1x+c2*e^5x
Re: Два дифура
Да, только -1 можно не писать: \(y=C_1\cdot e^{-x}+C_2\cdot e^{5x}\). А со вторым уравнением разберёмся чуть позже, когда я вернусь
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: Два дифура
Я на всякий случай дописал -1 Ок, подожду
Re: Два дифура
Теперь поговорим про первое уравнение, т.е. \(y''-4y'-5y=10e^{3x}\). Схема решения тут проста: сначала представляем, что в правой части расположен ноль, - и решаем уравнение \(y''-4y'-5y=0\). Полученное решение обозначаем какой-то буквой, например, \(y^{*}\). Просто букву \(y\) использовать нельзя, так как буква \(y\) зарезервирована под решение исходного уравнения \(y''-4y'-5y=10e^{3x}\). Так как мы уже решили уравнение \(y''-4y'-5y=0\), то сразу и запишем: \(y^{*}=C_1\cdot e^{-x}+C_2\cdot e^{5x}\).
Теперь начинается второй этап решения. Уравнение \(y''-4y'-5y=10e^{3x}\) имеет бесконечное множество ответов. Но нам из этих ответов нужно выбрать какой-то один (обозначим его буквой \(u\)). Это так называемое частное решение. Теперь простая аналогия: что означает фраза "3 - это решение уравнения \(k^2-9=0\)?" Эта фраза означает, что если подставить вместо \(k\) число 3, то мы получим верное равенство: \(3^2-9=0\). То же самое и с дифференциальным уравнением. Если \(u\) - это решение уравнения \(y''-4y'-5y=10e^{3x}\), то подстановка \(u\) вместо \(y\) обратит уравнение в верное равенство: \(u''-4u'-5u=10e^{3x}\).
Но тут возникает новый вопрос: как, собственно, отыскать эту функцию \(u\)? И вот тут надо смотреть на правую часть уравнения (я отослал вам на почту распечатку по этому вопросу). В данном случае \(u=ae^{3x}\), где \(a\) - неизвестный параметр. Теперь нам нужно найти \(u'\), \(u''\) и поставить в уравнение \(u''-4u'-5u=10e^{3x}\).
Например, \(u'=(ae^{3x})'=a\cdot e^{3x}\cdot (3x)'=a\cdot e^{3x}\cdot 3=3a\cdot e^{3x}\)
Можете попробовать дальше найти \(u''\) самостоятельно.
\(u''=(3a\cdot e^{3x})'=\ldots\)
Теперь начинается второй этап решения. Уравнение \(y''-4y'-5y=10e^{3x}\) имеет бесконечное множество ответов. Но нам из этих ответов нужно выбрать какой-то один (обозначим его буквой \(u\)). Это так называемое частное решение. Теперь простая аналогия: что означает фраза "3 - это решение уравнения \(k^2-9=0\)?" Эта фраза означает, что если подставить вместо \(k\) число 3, то мы получим верное равенство: \(3^2-9=0\). То же самое и с дифференциальным уравнением. Если \(u\) - это решение уравнения \(y''-4y'-5y=10e^{3x}\), то подстановка \(u\) вместо \(y\) обратит уравнение в верное равенство: \(u''-4u'-5u=10e^{3x}\).
Но тут возникает новый вопрос: как, собственно, отыскать эту функцию \(u\)? И вот тут надо смотреть на правую часть уравнения (я отослал вам на почту распечатку по этому вопросу). В данном случае \(u=ae^{3x}\), где \(a\) - неизвестный параметр. Теперь нам нужно найти \(u'\), \(u''\) и поставить в уравнение \(u''-4u'-5u=10e^{3x}\).
Например, \(u'=(ae^{3x})'=a\cdot e^{3x}\cdot (3x)'=a\cdot e^{3x}\cdot 3=3a\cdot e^{3x}\)
Можете попробовать дальше найти \(u''\) самостоятельно.
\(u''=(3a\cdot e^{3x})'=\ldots\)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"