Страница 1 из 1
производная
Добавлено: 05 фев 2014, 13:09
Anuto4ka
можно снова вопрос?
дали домашку найти производную функции двух переменных z=3x^2y^3+4sinxy+10x-y+2. можете объяснить как это делается? я с пары ничего не поняла
Re: производная
Добавлено: 05 фев 2014, 17:24
Алексей
Конечно можно, отчего же нет
Только сначала вопрос будет у меня: Ваша функция имеет такой вид или нет:
\(z=3x^2y^3+4\sin(xy)+10x-y+2\)?
Re: производная
Добавлено: 05 фев 2014, 20:29
Anuto4ka
Точно, я про скобки забыла
там условие было найти производные первого порядка.
Re: производная
Добавлено: 05 фев 2014, 21:05
Алексей
Ну, с этим разобрались
Теперь поговорим о производной. Суть частных производных, если коротко, в следующем правиле: когда берётся производная по одной переменной, то все остальные переменные полагаются константами. Т.е., грубо говоря, если берётся производная по переменной
\(x\), то со всеми остальными переменными работают, как с обычными числами.
Для примера покажу начало нахождения производной по
\(x\). Итак, нам надо найти такую производную:
\(\frac{\partial z}{\partial x}=(3x^2y^3+4\sin(xy)+10x-y+2)_{x}^{'}\)
Мы берём производную по переменной
\(x\), поэтому с переменной
\(y\) работаем, как с обычной константой. Для начала разобьём одну производную на пять:
\((3x^2y^3+4\sin(xy)+10x-y+2)_{x}^{'}=(3x^2y^3)_{x}^{'}+(4\sin(xy))_{x}^{'}+(10x)_{x}^{'}-(y)_{x}^{'}+(2)_{x}^{'}\)
Теперь поработаем с каждым выражением по отдельности. Начнём с
\((3x^2y^3)_{x}^{'}\). Всё, что не содержит
\(x\) (т.е.,
\(3y^3\)) - это константы. Вынесем их за знак производной:
\((3x^2y^3)_{x}^{'}=3y^3(x^2)_{x}^{'}\). Теперь, так как
\((x^2)_{x}^{'}=2x\), то
\(3y^3(x^2)_{x}^{'}=3y^3\cdot 2x=6y^3x\). С первым слагаемым справились:
\((3x^2y^3)_{x}^{'}=3y^3\cdot 2x=6y^3x\). А дальше нужно поработать с остальными слагаемыми. Попробуйте с ними разобраться по аналогии.
Re: производная
Добавлено: 05 фев 2014, 22:04
Anuto4ka
трудно получается. Вроде разобралась с (10х)'=10. если у постоянная, то получается (y)'=0 и (2)'=0.
а с sin(xy) не очень... по таблице там написан cos но как его подставить?
Re: производная
Добавлено: 05 фев 2014, 22:50
Алексей
Ну, с синусом дело поправимое
В таблице производных есть формула
\((\sin u)'=\cos u\cdot u'\). Вот вместо
\(u\) в эту формулу пойдёт
\(xy\). Тогда получится следующее:
\((\sin (xy))'=\cos(xy)\cdot (xy)'\). А так как
\((xy)_{x}^{'}=y\cdot(x)_{x}^{'}=y\cdot 1=y\), то
\((\sin (xy))'=\cos(xy)\cdot y=y\cos(xy)\).
Ну, и если всё это дело собрать воедино, то будет готова первая половина вашей задачи:
\(\frac{\partial z}{\partial x}=6xy^3+4y\cos(xy)+10\)
Останется производная по переменной
\(y\). Теперь уже
\(y\) будет переменной, а
\(x\) - постоянной.
Re: производная
Добавлено: 06 фев 2014, 00:34
Anuto4ka
Так. я попробовала найти. только не смейтесь когда читать будете
попробовала набрать формулой. там производная по y
\((3x^2y^3)'=3x^2*3y^2=9x^2y^2\)
\((sin(xy))'=xcos(xy)\)
там дальше нули и производная от у (1 да?). короче вышло так:
\(9x^2y^2+4xcos(xy)-1\)
Re: производная
Добавлено: 06 фев 2014, 00:37
Алексей
Чего же смеяться? Всё нормально
И производную по
\(y\) вы нашли правильно. А формулы в latex действительно лучше смотрятся, чем набранные "просто так"
Если будете работать дальше по математической линии, то пригодится.
Re: производная
Добавлено: 06 фев 2014, 00:38
Anuto4ka
Спасибо
наврядли я буду работать по математике
но к вам еще обращусь