Страница 1 из 1
Проверьте, пожалуйста, моё решение
Добавлено: 18 май 2014, 17:52
anna_06
Добрый день, уважаемые форумчане!
Не могли бы вы проверить моё решение? Извините за оформление.
Дана функция z = f(x, y). Найти частные производные
первого и второго порядка
z = cos(2xy)
Мое решение:
Производные 1 порядка:
f по x=2y(-sin2xy*2y)=-(4y^2)*sin2xy
f по y =2x(cos2xy)=2x(-sin2xy*2x=-4x^2sin2xy
Производные 2 порядка:
f по xx = (-4y^2 sin 2xy)=-4y^2(cos2xy*2x)=-4y^2*2xcos2xy
f по yy = (-4x^2sin2xy)=-4x^2cos2xy*2x=-4x^2*2x*cos2xy
f по yx = -4x^2*sin2xy=(-4 *(2x)*(cos2xy*2y)=-8x*2y*cos2xy
Re: Проверьте, пожалуйста, моё решение
Добавлено: 18 май 2014, 17:54
Алексей
Добрый день! Проверить можем, это быстро.
Re: Проверьте, пожалуйста, моё решение
Добавлено: 18 май 2014, 18:04
Алексей
Итак, вы малость усложнили себе работу
Вот, например, первая производная, т.е.
\(z_{x}^{'}\). Имеем:
\(z_{x}^{'}=\left(\cos(2xy) \right)_{x}^{'}\)
Теперь работаем с формулой №10 из
таблицы производных, т.е.
\((\cos u)'=-\sin u\cdot u'\), только в нашем случае
\(u=2xy\):
\(z_{x}^{'}=\left(\cos(2xy) \right)_{x}^{'}=-\sin(2xy)\cdot (2xy)_{x}^{'}\)
Так как мы берем производную по переменной
\(x\), то переменную
\(y\) полагаем константой (числом, попросту говоря), поэтому
\(2y\) можно смело выносить за знак производной
\((2xy)_{x}^{'}\), получая при этом:
\(z_{x}^{'}=-\sin(2xy)\cdot (2xy)_{x}^{'}=-\sin(2xy)\cdot 2y\cdot (x)_{x}^{'}\)
Так как
\((x)_{x}^{'}=1\), то решение заканчивается:
\(z_{x}^{'}=-\sin(2xy)\cdot 2y\cdot (x)_{x}^{'}=-\sin(2xy)\cdot 2y\cdot 1=-2y\sin(2xy)\)
Попробуйте по аналогии найти и
\(z_{y}^{'}\).
Re: Проверьте, пожалуйста, моё решение
Добавлено: 18 май 2014, 19:09
anna_06
Спасибо большое!
У меня получилось \({z_{y}}'=-2x\cdot sin(2xy)\)
Получается, я два раза выносила константы за скобку, да? Я так поняла свою ошибку.
Помогите, пожалуйста, как находить остальные производные. Чтобы найти \({z_{xx}}''\) мне нужно вычислить производную из \({z^{_{x}}}'\), подразумевая, что y - константа?
Вот я попробовала перерешать. Правильно?
\(-4y^{2}cos2xy\)
Re: Проверьте, пожалуйста, моё решение
Добавлено: 18 май 2014, 19:16
Алексей
anna_06 писал(а):
Получается, я два раза выносила константы за скобку, да? Я так поняла свою ошибку.
Вы совершенно верно поняли
И производную
\(z_{xx}^{''}\) тоже нашли верно, т.е.
\(z_{xx}^{''}=-4y^2\cos(2xy)\). Ну, и
\(z_{y}^{'}\) тоже найдена верно.
Re: Проверьте, пожалуйста, моё решение
Добавлено: 19 май 2014, 02:49
anna_06
Спасибо!
Дорешала остальные. Вот. что получилось:
\({z_{yy}}''= -2x(cos2xy)\cdot 2x\cdot 1=-4x^{2}cos2xy\)
Немного не поняла, как вот это решать. Вроде решила, но, по-моему, опять что-то напутала:
\({z_{yx}}''=-{(2x)}'\cdot (cos2xy\cdot 2y\cdot {x_{x}}'= -2ycos2xy.\)
Нужно ли брать производную от 2 и от x или просто вынести 2 и взять производную от x? Я вынесла 2 за скобку в самом начале решения и вот что у меня получилось во второй раз:
\({z^{_{yx}}}''=\)\(-4ycos2xy\)
Re: Проверьте, пожалуйста, моё решение
Добавлено: 19 май 2014, 10:11
Алексей
С производной
\(z_{yy}^{''}\) все в норме, она действительно равна
\(-4x^2\cos(2xy)\). Вот с
\(z_{xy}^{''}\) уже возникают вопросы (кстати, для вашей функции
\(z_{xy}^{''}=z_{yx}^{''}\)). Запись
\(z_{xy}^{''}\) означает, что от производной по
\(x\) взяли еще раз производную, но на этот раз по
\(y\):
\(z_{xy}^{''}=\left(z_{x}^{'} \right)_{y}^{'}\)
А так как
\(z_{x}^{'}=-2y\sin(2xy)\), то:
\(z_{xy}^{''}=\left(-2y\sin(2xy) \right)_{y}^{'}=-2\cdot \left(y\sin(2xy) \right)_{y}^{'}\)
Однако вынести
\(y\) за скобки мы уже не можем, так как
\(y\) - это переменная, а за знак производной можно выносить лишь константы (т.е. те величины, которые не содержат переменных). Здесь надо использовать формулу
\(\left(u\cdot v \right)'=u'v+uv'\):
\(z_{xy}^{''}=-2\cdot \left(y\sin(2xy) \right)_{y}^{'}=-2 \left( (y)_{y}^{'}\sin(2xy)+y(\sin(2xy))_{y}^{'} \right)\)
Ну, а дальше уже останется только найти производные в скобках.
Re: Проверьте, пожалуйста, моё решение
Добавлено: 19 май 2014, 16:30
anna_06
Спасибо огромное! Без вас бы не разобралась
Re: Проверьте, пожалуйста, моё решение
Добавлено: 19 май 2014, 17:27
Алексей
Всегда пожалуйста, обращайтесь, если что