Найти пределы функций.

[Anna955]

lim(x strem k 0) sin3x/Vx+2-V2

[Алексей]

Давайте я его запишу в несколько более наглядной форме: \(\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}\). Условие такое, верно?

[Anna955]

да

[Алексей]

Ок. Вообще, в самом начале решения желательно проверить, можно ли просто подставить \(x=0\). Ну, в нашем случае такое явно не прокатит В числителе и знаменателе получаем два нуля - т.е. имеем неопределенность \(\frac{0}{0}\). От нее нужно избавиться. Для начала попробуйте сделать такое преобразование: и числитель и знаменатель домножить на скобку \(\left( \sqrt{x+2}+\sqrt{2}\right)\). Дробь от этого не изменится.

[Anna955]

ok

[Алексей]

У вас в знаменателе должно получиться выражение \((\sqrt{x+2}-\sqrt{2})\cdot ( \sqrt{x+2}+\sqrt{2})\). Есть простая формула:

\((a-b)(a+b)=a^2-b^2\)

Только в вашем случае \(a=\sqrt{x+2}\), \(b=\sqrt{2}\). Ну, и скобки в знаменателе можно легко раскрыть, используя данную выше формулу

[Anna955]

в знаминетеле получается x^2+4x?

[Anna955]

нет неправильно решила

[Алексей]

Там попроще получается Судите сами: если \(a=\sqrt{x+2}\), а \(b=\sqrt{2}\), то:

\((\sqrt{x+2}-\sqrt{2})\cdot ( \sqrt{x+2}+\sqrt{2})=(\sqrt{x+2})^2-(\sqrt{2})^2\)

Вторая степень и квадратный корень взаимно уничтожаются и выходит:

\((\sqrt{x+2})^2-(\sqrt{2})^2=x+2-2=x\)

Ну, а дальше желательно записать полученный предел. Если у вас не выйдет запись через формулы, можете просто прикрепить картинку с фото предела.

[Алексей]

Получил ваше решение, - все верно, запись именно такая. Теперь скобка в числителе нас не будет интересовать до самого конца решения. Сейчас пойдем далее, к первому замечательному пределу.