пределы7

[Вероника]

\(cos(t+\frac{\pi }{2})=sint\)
так?)

[Алексей]

Почти

\(\cos\left(t+\frac{\pi}{2} \right)=-\sin t\)

Вот и подставьте все эти синусы в ваш предел вместо косинусов, - и предел сразу станет проще.

[Вероника]

\(\lim_{x\rightarrow 0}(1+sin3t)^{\frac{1}{-sint}}\)

[Вероника]

ой там же \lim_{t\rightarrow 0}

[Вероника]

ой там же \(\lim_{t\rightarrow 0}\)

[Алексей]

Я понял, что там \(t\to 0\) Если нужно подправить сообщение, можно использовать кнопку "Правка".

Итак, получили предел \(\lim_{t\to 0}(1+\sin 3t)^{\frac{1}{-\sin t}}\)

Теперь нужно вспомнить, что \(\lim_{x\to 0}(1+x)^\frac{1}{x}=e\). Наш предел похож на \(\lim_{x\to 0}(1+x)^\frac{1}{x}\). Только в скобке вместо \(x\) стоит \(\sin 3t\). А что должно стоять в степени нашего предела, чтобы он бы совсем похож на \(\lim_{x\to 0}(1+x)^\frac{1}{x}\)?

[Вероника]

\(\frac{1}{-sint}*(\frac{1}{sin3t})\)
нет?

[Алексей]

Да Нам в степени как раз и нужно \(\frac{1}{\sin 3t}\). Только вот в чём проблема: мы не может просто так "дописать" это выражение. Если мы делим на \(\sin 3t\), то должны тут же не \(\sin 3t\) домножить:

\(\frac{1}{\sin 3t}\cdot\sin 3t\)

Ну, и предел станет таким:

\(\lim_{t\to 0}(1+\sin 3t)^{\frac{1}{\sin 3t}\cdot\sin 3t\cdot\frac{1}{-\sin t}}\)

Теперь мы получили точный вид предела \(\lim_{x\to 0}(1+x)^\frac{1}{x}\). Вспоминая, что \(\lim_{x\to 0}(1+x)^\frac{1}{x}=e\), мы можем заменить кусок предела \(\lim_{t\to 0}(1+\sin 3t)^{\frac{1}{\sin 3t}\cdot\sin 3t\cdot\frac{1}{-\sin t}}\) буквой \(e\).

[Вероника]

\(\lim_{t\rightarrow 0}e^{\frac{1}{sin3t}*sin3t}\)
???

[Алексей]

Почти Вот так:

\(\lim_{t\to 0}e^{\sin 3t\cdot\frac{1}{-\sin t}}\)

Только желательно записать степень в виде одной дроби:

\(\lim_{t\to 0}e^{\frac{\sin 3t}{-\sin t}}\)

А теперь вспоминаем эквивалентности Так как \(t\to 0\), то \(\sin t\sim\)? и \(\sin 3t\sim\)?