Пределы №2

[Оля]

я предполагаю,что первые две скобки раскрываются так:
\((\sqrt[3]{8+3x-x^{2}})*(\sqrt[3]{(8+3x-x^{2})^{2}})= (\sqrt[3]{(8+3x-x^{2})^{}} ^{3})= 8+3x-x^{2}\)

[Алексей]

я не понимаю,что на что нужно умножать!
так много всего

Да тут особо и нечего умножать У нас есть формула

\((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\)

Когда в эту формулу мы подставили \(a=\sqrt[3]{8+3x-x^2}\) и \(b=2\), то получили следующее:

\(\left(\sqrt[3]{8+3x-x^2}-2 \right)\cdot \left(\sqrt[3]{\left(8+3x-x^2\right)^2}+2\sqrt[3]{8+3x-x^2}+4 \right)=\\

=\left(\sqrt[3]{8+3x-x^2} \right)^3-2^3=8+3x-x^2-8=3x-x^2\)

Вот это и будет в числителе. А в знаменателе будет скобка, которая не исчезнет до конца решения.

[Оля]

Ого! Как оказывается легко! а я так намудрила

[Алексей]

Бывает Вы запишите, что получается, а потом пойдем дальше.

[Оля]

\(\lim_{x \to 0}\frac{3x-x^{2}}{(\sqrt[3]{x^{2}+x^{3}})*(\sqrt[3]{(8+3x-x^{2})^{2}})+2\sqrt[3]{8+3x-x^{2}}+4)}\)

[Алексей]

Отлично. Только первые скобки в знаменателе можно убрать:

\(\lim_{x \to 0}\frac{3x-x^{2}}{\sqrt[3]{x^{2}+x^{3}}\cdot \left(\sqrt[3]{\left(8+3x-x^{2}\right)^{2}}+2\sqrt[3]{8+3x-x^{2}}+4\right)}\)

Теперь попробуйте сделать вот что: из-под кубического корня \(\sqrt[3]{x^{2}+x^{3}}\) вынесите \(x^2\). А в числителе - за скобки \(x\).

[Оля]

В числителе легко \(x(3-x)\)
а вот в знаменателе ...
там же степень меняется, когда вносишь под корень?

[Алексей]

В знаменателе тоже легко:

\(\sqrt[3]{x^{2}+x^{3}}=\sqrt[3]{x^2\cdot(1+x )}=\sqrt[3]{x^2}\cdot \sqrt[3]{1+x}\)

И если вы запишете то, что получилось, а потом сократите числитель и знаменатель, то неопределенность исчезнет

[Оля]

Мне не понятно, что с чем сокращается и что дальше делать надо

[Алексей]

А вы запишите, что у вас получается после записи скобок, а потом пойдём далее