пределы5

[Вероника]

Здравствуйте
\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}{sin3x}\)

[Алексей]

Интересный пример Для начала попробуйте домножить на выражение, сопряжённое числителю, т.е. на \(\sqrt{x+2}+\sqrt{2}\). Причем домножать нужно и в числителе, и в знаменателе.

[Вероника]

\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}*(\sqrt{x+2}-\sqrt{2})}{sin3x*(\sqrt{x+2}-\sqrt{2})}\)
Если я правильно поняла,то так

[Алексей]

Правильно поняли, но умножение у вас получилось несколько с неверным знаком:

\(\lim_{x\to 0}\frac{\left( \sqrt{x+2}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x+2}+\sqrt{2} \right)}{\sin 3x\left(\sqrt{x+2}+\sqrt{2} \right)}\)

Вот как-то так... Ну, а теперь вам остается лишь раскрыть скобки в числителе, используя стандартную формулу

\((a-b)(a+b)=a^2-b^2\)

[Вероника]

\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(\sqrt{x+2})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}{sin3x*(\sqrt{x+2}+\sqrt{2})}\)

[Алексей]

Точно Только дойдите уж до конца: возведение в квадрат и квадратный корень взаимно уничтожатся. Например, \(\left( \sqrt{15} \right)^2=15\).

[Вероника]

\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x+2-2}{sin3x*(\sqrt{x+2}+\sqrt{2})}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{sin3x*(\sqrt{x+2}+\sqrt{2})}\)

[Алексей]

Хорошо. Теперь вспомним простую эквивалентность: если \(\alpha\to 0\), то \(\sin\alpha\sim\alpha\). Следовательно, если \(3x\to 0\), то \(\sin 3x\sim\)?

И если вы правильно ответите на этот вопрос и потом сократите числитель и знаменатель, то неопределенность исчезнет

[Вероника]

sin3x эквивалентен 3х
Значит пример будет таким?
\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{3x*(\sqrt{x+2}+\sqrt{2})}\)
значит возникнет неопределенность вида 0/0

[Алексей]

Ну, неопределенность не то, чтобы возникнет - она была с самого начала Просто сейчас у неё есть шанс исчезнуть - если вы сократите на \(x\).