пределы 4

[Вероника]

\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{2x}-e^{-5x}}{2sinx-tgx}\)

[Алексей]

Вот, тут уже условие вроде без ошибок Давайте начнём с такого вопроса: а почему нельзя просто подставить \(x=0\) и получить ответ? Какие ваши идеи?

[Вероника]

я думаю,что получиться неопределенность вида 0/0??

[Алексей]

И вы совершенно правильно думаете Именно от этой неопределенности и будем избавляться. Давайте для начала вот что сделаем: в числителе вынесите за скобки \(e^{-5x}\). А в знаменателе распишем \(\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}\). И ответ станет на шаг ближе

[Вероника]

\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{-5x(\frac{e}{3x}-1)}}{2sinx-\frac{sinx}{cosx}}\)
так?

[Алексей]

Почти Дело в том, что когда мы выносим нечто за скобки, то мы делим исходное выражение на это "нечто":

\(e^{2x}-e^{-5x}=e^{-5x}\cdot\left(\frac{e^{2x}}{e^{-5x}}-\frac{e^{-5x}}{e^{-5x}} \right)=e^{-5x}\cdot\left(e^{2x-(-5x)}-1 \right)=e^{-5x}\cdot\left(e^{7x}-1 \right)\)

К знаменателю вопросов нет, только вынесите еще \(\sin x\) за скобки в знаменателе.

[Вероника]

\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{-5x}(e^{7x}-1)}{sinx*sinx-\frac{sinx}{cosx}}\)
дальше так?

[Алексей]

Ну, если вы выносите синус за скобки, то согласитесь, что должны возникнуть скобки Я что-то их совсем не вижу.

[Вероника]

\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{-5x}(e^{7x}-1)}{sinx(sinx-cosx)}\)
???

[Алексей]

Не совсем... Смотрите: у нас есть выражение \(2\sin x-\frac{\sin x}{\cos x}\), из которого мы выносим синус. Выносим синус - значит, делим на него:

\(2\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=\sin x\cdot\left(\frac{2\sin x}{\sin x}-\frac{\sin x}{\sin x\cdot \cos x} \right)=\sin x\cdot\left(2-\frac{1}{ \cos x} \right)\)

Если тут вопросов нету, то запишите предел и пойдем далее