пределы 2

[Алексей]

значит будет так???\(\lim_{t\rightarrow 0}\frac{ln(-2t^{2}-8t-1)}{sin2\pi t}\)

Почти \(9-2t^{2}-8t-8=1-2t^2-8t\). Я даже представлю выражение под логарифмом чуток в иной форме: \(\ln(1+(-2t^2-8t))\). С синусом вы разобрались совершенно правильно, поэтому предел станет таким:

\(\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+(-2t^2-8t))}{\sin (2\pi t)}\)

А теперь я такой вопрос задам: если \(t\to 0\), то к чему стремятся выражения \(-2t^2-8t\) и \(2\pi t\)?

[Вероника]

к 0 наверно?

[Алексей]

А если точно?

[Вероника]

\(\frac{0}{0}\)

[Алексей]

\(\frac{0}{0}\)

Ладно, уговорили Оба выражения стремятся к нулю, и неопределенность никуда не исчезла. Но исчезнет Далее будем использовать эквивалентности.

При \(\alpha\to 0\) имеем \(\ln(1+\alpha)\sim \alpha\). Так как \(-2t^2-8t\to 0\), то \(\ln(1+(-2t^2-8t))\sim\)?

Ну, и для синуса: при \(\alpha\to 0\) имеем \(\sin\alpha\sim \alpha\). Так как \(2\pi t \to 0\), то \(\sin 2\pi t\sim\)?

[Вероника]

\(ln(1+(-2t^{2}-8t))\sim -2t^{2}-8t\)
sin2\pi t\sim 2\pi t

[Вероника]

\(sin2\pi t\sim 2\pi t\)

[Алексей]

Согласен Вот и изменяйте ваш предел, используя те эквивалентости, что вы записали:

\(\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+(-2t^2-8t))}{\sin (2\pi t)}=\lim_{t\to 0}\frac{?}{?}\)

[Вероника]

а как?

[Алексей]

Просто подставьте вместо \(\sin (2\pi t)\) выражение \(2\pi t\). С логарифмом - аналогично