Пределы

[Вероника]

Здравствуйте!Помогите пожалуйста решить пример.
\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin 15(x+\pi )}{e^{3x}-1}\)

[Алексей]

Добрый день! Для начала тут стоит отметить, что если \(x\to 0\), то \(\sin(15(x+\pi))\to 0\) и \(e^{3x}-1\to 0\), т.е. имеем неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Однако перед тем, как решать, этот предел желательно упростить. Я имею в виду синус.

\(\sin(15(x+\pi))=\sin(15x+15\pi)=\sin(15x+\pi +14\pi)\)

А так как период у синуса равен \(2\pi\), то попробуйте продолжить эту формулу: \(\sin(15x+\pi +14\pi)=\)?

[Вероника]

я не поминаю откуда взялось 14п?
сначала я поняла,что вы упростили синус,тем,что раскрыли скобку

[Вероника]

все,я разобралась откуда 14 П,но к сожалению я не знаю как дальше

[Алексей]

все,я разобралась откуда 14 П,но к сожалению я не знаю как дальше

Тут всё довольно просто. Дело в том, что у функции \(\sin x\) есть период \(2\pi\). Т.е., значения этой функции повторяются через промежуток \(2\pi\). Например, \(\sin(1+2\pi)=\sin 1\), или \(\sin(5+\pi + 2\pi)=\sin(5+\pi)\). Короче говоря, если под синусом расположено \(2\pi\), то это число можно смело убирать. А если нужно - можно убрать несколько раз. Вот например:

\(\sin(2+5\pi)=\sin(5+3\pi+2\pi)=\sin(5+3\pi)=\sin(5+\pi+2\pi)=\sin(5+\pi)\)

Если с этим вопросов нету, то перейдем к вашему синусу, если вопросы есть - давайте

[Вероника]

давайте попробуем решить мой пример?

[Алексей]

А это и относится к вашему примеру. Просто если предыдущее сообщение вам ясно, то вы легко сможете упростить \(\sin(15x+\pi +14\pi)\). Если отбросите период, то этот синус очень удачно упростится.

[Вероника]

получается будет sin (15x+П)??

[Алексей]

получается будет sin (15x+П)??

Совершенно верно Далее, есть еще одна простая формула: \(\sin(\alpha+\pi)=-\sin\alpha\). Вот если вы ее примените к вашему \(\sin(15x+\pi)\), то упростите его уже основательно.

[Вероника]

получается -sin15х???