Пределы

[Алексей]

так?

\(\lim_{t\to 0}e^{\frac{t\cdot cos\frac{\pi t}{2a}}{a\cdot \sin\frac{\pi t}{2a}}}=\lim_{t\to 0}e^{\frac{t\cdot cos\frac{\pi t}{2a}}{a\cdot \sin\frac{\pi t}{2a}}}=\lim_{t\to 0}e^{\frac{ cos\frac{\pi t^2}{2a}}{\frac{\pi t}{2}}}=\lim_{t\to 0}e^{cos\frac{t}{a}}=e^{cos\frac{0}{a}}= e^1=e\)

Какое заклинание повышает внимательность? Как найдёте, срочно прочитайте

Вот смотрите: мы, по сути, заменили синус выражением \(\frac{\pi t}{2 a}\). Получаем при этом:

\(\lim_{t\to 0}e^{\frac{t\cdot cos\frac{\pi t}{2a}}{a\cdot \sin\frac{\pi t}{2a}}}=\lim_{t\to 0}e^{\frac{t\cdot cos\frac{\pi t^2}{2a}}{a\cdot \frac{\pi t}{2a}}}\)

Значение \(a\) мы сократили, в это я могу поверить. Но куда исчез параметр \(t\) перед косинусом? Верните его на родину

Далее, ни в коем разе не перемножайте и не делите выражение под косинусом и выражение перед ним. Например, \(t\cos t\neq \cos t^2\). Или, например, \(\pi \sin \frac{1}{\pi}\neq \sin 1\). Так что преобразования желательно малость подправить

[Снежана]

получается нужно вот так сделать?
\(\lim_{t\to 0}e^{\frac{t\cdot cos\frac{\pi t}{2a}}{a\cdot \sin\frac{\pi t}{2a}}}=\lim_{t\to 0}e^{\frac{t\cdot cos\frac{\pi t}{2a}}{a\cdot \frac{\pi t}{2a}}}=\lim_{t\to 0}e^{\frac{t\cdot cos\frac{\pi t}{2a}}{ \frac{\pi t}{2}}}\)

[Алексей]

получается нужно вот так сделать?
\(\lim_{t\to 0}e^{\frac{t\cdot cos\frac{\pi t}{2a}}{a\cdot \sin\frac{\pi t}{2a}}}=\lim_{t\to 0}e^{\frac{t\cdot cos\frac{\pi t}{2a}}{a\cdot \frac{\pi t}{2a}}}=\lim_{t\to 0}e^{\frac{t\cdot cos\frac{\pi t}{2a}}{ \frac{\pi t}{2}}}\)

Да, и еще раз да Вот теперь \(t\), которое стоит перед косинусом в числителе, и то \(t\), которое стоит в знаменателе, можно смело сокращать.

[Снежана]

так?
\(\lim_{t\to 0}e^{\frac{t\cdot cos\frac{\pi t}{2a}}{a\cdot \sin\frac{\pi t}{2a}}}=\lim_{t\to 0}e^{\frac{t\cdot cos\frac{\pi t}{2a}}{a\cdot \frac{\pi t}{2a}}}=\lim_{t\to 0}e^{\frac{t\cdot cos\frac{\pi t}{2a}}{ \frac{\pi t}{2}}}=\lim_{t\to 0}e^{\frac{ cos\frac{\pi t}{2a}}{ \frac{\pi }{2}}}\)

[Алексей]

так?
\(\lim_{t\to 0}e^{\frac{t\cdot cos\frac{\pi t}{2a}}{a\cdot \sin\frac{\pi t}{2a}}}=\lim_{t\to 0}e^{\frac{t\cdot cos\frac{\pi t}{2a}}{a\cdot \frac{\pi t}{2a}}}=\lim_{t\to 0}e^{\frac{t\cdot cos\frac{\pi t}{2a}}{ \frac{\pi t}{2}}}=\lim_{t\to 0}e^{\frac{ cos\frac{\pi t}{2a}}{ \frac{\pi }{2}}}\)

Именно Косинус, кстати, мы вообще трогать не будем. Далее, вот такие трёхэтажные дроби как-то нехорошо смотрятся. Их желательно упростить. Когда мы делим на дробь, мы её переворачиваем, т.е., например, \(\frac{a}{\frac{b}{c}}=\frac{a\cdot c}{b}\). Вот и сделайте то же самое в знаменателе вашей дроби. И это уже почти ответ

[Снежана]

так?))
\(\lim_{t\to 0}e^{\frac{t\cdot cos\frac{\pi t}{2a}}{a\cdot \sin\frac{\pi t}{2a}}}=\lim_{t\to 0}e^{\frac{t\cdot cos\frac{\pi t}{2a}}{a\cdot \frac{\pi t}{2a}}}=\lim_{t\to 0}e^{\frac{t\cdot cos\frac{\pi t}{2a}}{ \frac{\pi t}{2}}}=\lim_{t\to 0}e^{\frac{ cos\frac{\pi t}{2a}}{ \frac{\pi }{2}}}=\lim_{t\to 0}e^{cos\frac{\pi t}{2a}\cdot \frac{2}{\pi }}\)

[Алексей]

так?))
\(\lim_{t\to 0}e^{\frac{t\cdot cos\frac{\pi t}{2a}}{a\cdot \sin\frac{\pi t}{2a}}}=\lim_{t\to 0}e^{\frac{t\cdot cos\frac{\pi t}{2a}}{a\cdot \frac{\pi t}{2a}}}=\lim_{t\to 0}e^{\frac{t\cdot cos\frac{\pi t}{2a}}{ \frac{\pi t}{2}}}=\lim_{t\to 0}e^{\frac{ cos\frac{\pi t}{2a}}{ \frac{\pi }{2}}}=\lim_{t\to 0}e^{cos\frac{\pi t}{2a}\cdot \frac{2}{\pi }}\)

Вот, это вообще хорошо. Только я предпочитаю ставить числа перед функциями. Хотя это совсем несущественно, я бы записал так:

\(\lim_{t\to 0}e^{ \frac{2}{\pi }\cdot cos\frac{\pi t}{2a}}\)

Теперь можете совершенно свободно подставить \(t=0\) и получите ответ

[Снежана]

вот так получается??
\(\lim_{t\to 0}e^{\frac{t\cdot cos\frac{\pi t}{2a}}{a\cdot \sin\frac{\pi t}{2a}}}=\lim_{t\to 0}e^{\frac{t\cdot cos\frac{\pi t}{2a}}{a\cdot \frac{\pi t}{2a}}}=\lim_{t\to 0}e^{\frac{t\cdot cos\frac{\pi t}{2a}}{ \frac{\pi t}{2}}}=\lim_{t\to 0}e^{\frac{ cos\frac{\pi t}{2a}}{ \frac{\pi }{2}}}=\lim_{t\to 0}e^{\frac{2}{\pi }\cdot cos\frac{\pi t}{2a}}=e^{\frac{2}{\pi }\cdot cos\frac{\pi \cdot 0}{2a}}=e^\frac{2}{\pi }\)

[Алексей]

Именно Ваш ответ подтвержден также маткадом:

1.png (2.8 КБ) 6561 просмотр

[Снежана]

как долго мы его решали Спасибо вам огромное)))))))))))) я потом вам расскажу в понедельник зачел или нет)))))надеюсь правильно перепишу))))