\(\lim_{t\to 0}\left ( 1+\left(-\frac{t}{a}\right) \right )^{-\ctg\frac{\pi t}{2a}}\)
В степени очень не хватает \(\frac{1}{-\frac{t}{a}}\). Как его туда поместить?
Пределы
Re: Пределы
Именно так и будет. Но есть еще один момент: степень не та. В пределе \(\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}\) тот \(x\), который стоит в скобках, совпадает с \(x\) в знаменателе. А у нас выходит:
В степени очень не хватает \(\frac{1}{-\frac{t}{a}}\). Как его туда поместить?
В степени очень не хватает \(\frac{1}{-\frac{t}{a}}\). Как его туда поместить?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: Пределы
так?
\(\lim_{t\to 0}\left ( 1+\left(-\frac{t}{a}\right) \right )^{-ctg\frac{\pi t}{2a}\cdot \frac{1}{-\frac{t}{a}}}\)
\(\lim_{t\to 0}\left ( 1+\left(-\frac{t}{a}\right) \right )^{-ctg\frac{\pi t}{2a}\cdot \frac{1}{-\frac{t}{a}}}\)
Re: Пределы
Почти Понимаете, тут вот в чем проблема: мы не можем просто так взять и домножить на что-то. Если уж мы на что-то домножаем, то придется тут же на это "что-то" и разделить, иначе выражение изменится. Например, было у нас выражение \(a+b\). А мы хотим, чтобы появилось \(2(a+b)\). Мы можем домножить на двойку, но для компенсации этого придется тут же на двойку и разделить:
Вот теперь исходное выражение не изменится. Что же касается нашего предела, то мы можем поместить в степени \(\frac{1}{-\frac{t}{a}}\). Но придётся тут же на \(-\frac{t}{a}\) домножить:
Вот теперь мы подогнали под формулу \(\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e\). Только у нас будет не просто \(e\), а будет предел от \(e\) в некоторой степени. Вот и запишите, в какой степени
Понимаете, тут вот в чем проблема: мы не можем просто так взять и домножить на что-то. Если уж мы на что-то домножаем, то придется тут же на это "что-то" и разделить, иначе выражение изменится. Например, было у нас выражение \(a+b\). А мы хотим, чтобы появилось \(2(a+b)\). Мы можем домножить на двойку, но для компенсации этого придется тут же на двойку и разделить:\(a+b=2(a+b)\cdot\frac{1}{2}\)
Вот теперь исходное выражение не изменится. Что же касается нашего предела, то мы можем поместить в степени \(\frac{1}{-\frac{t}{a}}\). Но придётся тут же на \(-\frac{t}{a}\) домножить:
\(\lim_{t\to 0}\left ( 1+\left(-\frac{t}{a}\right) \right )^{-\ctg\frac{\pi t}{2a}}=\lim_{t\to 0}\left( 1+\left(-\frac{t}{a}\right) \right )^{\frac{1}{-\frac{t}{a}}\cdot \left( -\frac{t}{a}\right) \left(-\ctg\frac{\pi t}{2a}\right)}\)
Вот теперь мы подогнали под формулу \(\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e\). Только у нас будет не просто \(e\), а будет предел от \(e\) в некоторой степени. Вот и запишите, в какой степени
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: Пределы
не так? или я поспешила? 
\(\lim_{t\to 0}\left ( 1+\left(-\frac{t}{a}\right) \right )^{-ctg\frac{\pi t}{2a}}=\lim_{t\to 0}\left( 1+\left(-\frac{t}{a}\right) \right )^{\frac{1}{-\frac{t}{a}}\cdot \left( -\frac{t}{a}\right) \left(-ctg\frac{\pi t}{2a}\right)}= \lim_{t\to 0}-\frac{t}{a}\cdot(-ctg\frac{\pi t}{2a})= \lim_{t\to 0}\frac{ctg\pi t^2}{2a^2}\)
\(\lim_{t\to 0}\left ( 1+\left(-\frac{t}{a}\right) \right )^{-ctg\frac{\pi t}{2a}}=\lim_{t\to 0}\left( 1+\left(-\frac{t}{a}\right) \right )^{\frac{1}{-\frac{t}{a}}\cdot \left( -\frac{t}{a}\right) \left(-ctg\frac{\pi t}{2a}\right)}= \lim_{t\to 0}-\frac{t}{a}\cdot(-ctg\frac{\pi t}{2a})= \lim_{t\to 0}\frac{ctg\pi t^2}{2a^2}\)
Re: Пределы
Ну, разве что немного поспешилиСнежана писал(а):не так? или я поспешила?
\(\lim_{t\to 0}\left ( 1+\left(-\frac{t}{a}\right) \right )^{-ctg\frac{\pi t}{2a}}=\lim_{t\to 0}\left( 1+\left(-\frac{t}{a}\right) \right )^{\frac{1}{-\frac{t}{a}}\cdot \left( -\frac{t}{a}\right) \left(-ctg\frac{\pi t}{2a}\right)}= \lim_{t\to 0}-\frac{t}{a}\cdot(-ctg\frac{\pi t}{2a})= \lim_{t\to 0}\frac{ctg\pi t^2}{2a^2}\)
\(\lim_{t\to 0}\left( 1+\left(-\frac{t}{a}\right) \right )^{\frac{1}{-\frac{t}{a}}\cdot \left( -\frac{t}{a}\right) \left(-\ctg\frac{\pi t}{2a}\right)}=\lim_{t\to 0}e^{\left( -\frac{t}{a}\right) \left(-\ctg\frac{\pi t}{2a}\right)}=\lim_{t\to 0}e^{\frac{t}{a}\cdot \ctg\frac{\pi t}{2a}}\)
Но вот это: \(-\frac{t}{a}\cdot(-\ctg\frac{\pi t}{2a})=\frac{\ctg\pi t^2}{2a^2}\) совсем печально
Никогда не вносите множитель в синусы, косинусы или подобные функции. Это же не скобки, в которые можно просто что-то внести Попробуйте расписать котангенс \(\ctg\frac{\pi t}{2a}\) через синус и косинус, и вы будете на шаг от ответа
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: Пределы
так \(ctg\alpha =\frac{cos\alpha }{sin\alpha}\), то \(ctg\frac{\pi t}{2a}= \frac{cos\frac{\pi t}{2a}}{sin\frac{\pi t}{2a}}\) да? или ошиблась?
Re: Пределы
Нет, вы не ошиблись, - всё верноСнежана писал(а):так \(ctg\alpha =\frac{cos\alpha }{sin\alpha}\), то \(ctg\frac{\pi t}{2a}= \frac{cos\frac{\pi t}{2a}}{sin\frac{\pi t}{2a}}\) да? или ошиблась?
И предел станет таким:\(\lim_{t\to 0}e^{\frac{t}{a}\cdot \ctg\frac{\pi t}{2a}}=\lim_{t\to 0}e^{\frac{t}{a}\cdot \frac{cos\frac{\pi t}{2a}}{\sin\frac{\pi t}{2a}}}=\lim_{t\to 0}e^{\frac{t\cdot cos\frac{\pi t}{2a}}{a\cdot \sin\frac{\pi t}{2a}}}\)
Теперь самое время для эквивалентностей. Так как при \(\alpha\to 0\) имеем: \(\sin\alpha\sim\alpha\), то так как из \(t\to 0\) следует \(\frac{\pi t}{2a}\to 0\), то \(\sin\frac{\pi t}{2a}\sim\)?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: Пределы
получается
\(\sin\frac{\pi t}{2a}\sim\frac{\pi t}{2a}\)
\(\sin\frac{\pi t}{2a}\sim\frac{\pi t}{2a}\)
Re: Пределы
И это верно Вот и продолжите предел:
\(\lim_{t\to 0}e^{\frac{t\cdot cos\frac{\pi t}{2a}}{a\cdot \sin\frac{\pi t}{2a}}}=\ldots\)
Вот и продолжите предел:\(\lim_{t\to 0}e^{\frac{t\cdot cos\frac{\pi t}{2a}}{a\cdot \sin\frac{\pi t}{2a}}}=\ldots\)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: Пределы
так?
\(\lim_{t\to 0}e^{\frac{t\cdot cos\frac{\pi t}{2a}}{a\cdot \sin\frac{\pi t}{2a}}}=\lim_{t\to 0}e^{\frac{t\cdot cos\frac{\pi t}{2a}}{a\cdot \sin\frac{\pi t}{2a}}}\lim_{t\to 0}e^{\frac{ cos\frac{\pi t^2}{2a}}{\frac{\pi t}{2}}}=\lim_{t\to 0}e^{cos\frac{t}{a}}=e^{cos\frac{0}{a}}= e^1=e\)
\(\lim_{t\to 0}e^{\frac{t\cdot cos\frac{\pi t}{2a}}{a\cdot \sin\frac{\pi t}{2a}}}=\lim_{t\to 0}e^{\frac{t\cdot cos\frac{\pi t}{2a}}{a\cdot \sin\frac{\pi t}{2a}}}\lim_{t\to 0}e^{\frac{ cos\frac{\pi t^2}{2a}}{\frac{\pi t}{2}}}=\lim_{t\to 0}e^{cos\frac{t}{a}}=e^{cos\frac{0}{a}}= e^1=e\)