Пределы

[Снежана]

последний пример
\(\lim_{x\to a}\left ( 2-\frac{x}{a} \right )^{tg\frac{\pi x}{2a}}\)

[Алексей]

Ну, давайте начнём по порядку. Как вы думаете, какая тут неопределенность? Почему нельзя просто подставить \(x=a\) и получить ответ?

[Снежана]

тут \(\left [ 1^\infty \right ]\)

[Алексей]

тут \(\left [ 1^\infty \right ]\)

Совершенно правильно В скобках выражение стремится к нулю, а в степени - к бесконечности. Обычно такие примеры раскрываются с помощью второго замечательного предела. Он имеет две формы: \(\lim_{x\to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}=e\) и \(\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x} \right)^x=e\). То есть, чтобы подогнать наш предел под форму одного из двух данных пределов, нужно устремить \(x\) или к нулю, или к бесконечности.

Предлагаю ввести новую переменную, которая будет стремиться к нулю. Пока что у нас \(x\to a\). Как задать новую переменную \(t\), чтобы \(t\to 0\)? Давайте идеи

[Снежана]

может так?
\(t=x-1\)

[Алексей]

может так?
\(t=x-1\)

А может, там не единица?

[Снежана]

ааааа там а \(t=x-a\)

[Алексей]

Точно Вот с такой заменой и поработаем. Если \(t=x-a\), то \(x=t+a\). Вот и заменяйте \(x\) в исходном пределе выражением \(t+a\). Только учтите, что \(t\to 0\).

[Снежана]

получается вот такой предел
\(\lim_{t\to 0}\left ( 2-\frac{t+a}{a} \right )^{tg\frac{\pi (t+a)}{2a}}\)

[Алексей]

Очень правильно получается Теперь немного его преобразовать надо, потому что покамест он кажется сложнее, а не проще исходного предела.

\(2-\frac{t+a}{a}=2-\left(\frac{t}{a}+\frac{a}{a} \right)=?\)

\(\tg\frac{\pi(t+a)}{2a}=\tg\frac{\pi t+\pi a}{2a}=\tg\left( ? \right)\)