Пределы

[Алексей]

так?
\(e^{\arcsin ^2\sqrt{x}}-1 \sim arcsin ^2\sqrt{x}\)
\(arcsin ^2\sqrt{x}\sim x\)

И то и то абсолютно верно Действительно, так как при \(x\to 0\) имеем \(\arcsin ^2\sqrt{x} \to 0\), то \(e^{\arcsin ^2\sqrt{x}}-1 \sim \arcsin ^2\sqrt{x}\). А так как \(\sqrt{x}\to 0\), то \(\arcsin\sqrt{x}\sim \sqrt{x}\). И тогда предел станет таким:

\(-3\lim_{x\to 0}\frac{e^{\arcsin ^2\sqrt{x}}-1}{x}=-3\lim_{x\to 0}\frac{\arcsin ^2\sqrt{x}}{x}=-3\lim_{x\to 0}\frac{x}{x}\)

Вот и продолжите дальше, тут уже почти-почти

[Снежана]

ответ - 3?

[Снежана]

x и x сокращается да?

[Алексей]

ответ - 3?

Естественно

\(-3\lim_{x\to 0}\frac{x}{x}=-3\cdot 1=-3\)

Итак, мы получили, что

\(\lim_{x\to 0}\frac{3 \ln\left(2-e^{\arcsin ^2\sqrt{x}} \right)}{x}=-3\)

Следовательно,

\(\lim_{x\to 0}\left(2-e^{\arcsin^2\sqrt{x}} \right)^{\frac{3}{x}}=\lim_{x\to 0}e^{\frac{3}{x}\cdot \ln\left(2-e^{\arcsin ^2\sqrt{x}} \right)}=?\)

[Снежана]

так ?

\(\lim_{x\to 0}\left(2-e^{\arcsin^2\sqrt{x}} \right)^{\frac{3}{x}}=\lim_{x\to 0}e^{\frac{3}{x}\cdot \ln\left(2-e^{\arcsin ^2\sqrt{x}} \right)}=\lim_{x\to 0}\frac{3 \ln\left(2-e^{\arcsin ^2\sqrt{x}} \right)}{x}=-3\lim_{x\to 0}\frac{x}{x}=-3\cdot 1=-3\)

[Алексей]

так ?

\(\lim_{x\to 0}\left(2-e^{\arcsin^2\sqrt{x}} \right)^{\frac{3}{x}}=\lim_{x\to 0}e^{\frac{3}{x}\cdot \ln\left(2-e^{\arcsin ^2\sqrt{x}} \right)}=\lim_{x\to 0}\frac{3 \ln\left(2-e^{\arcsin ^2\sqrt{x}} \right)}{x}=-3\lim_{x\to 0}\frac{x}{x}=-3\cdot 1=-3\)

Давайте я малость подправлю ваше решение, а вы продолжите еще раз:

\(\lim_{x\to 0}\left(2-e^{\arcsin^2\sqrt{x}} \right)^{\frac{3}{x}}=\lim_{x\to 0}e^{\frac{3}{x}\cdot \ln\left(2-e^{\arcsin ^2\sqrt{x}} \right)}=e^{\lim_{x\to 0}\frac{3 \ln\left(2-e^{\arcsin ^2\sqrt{x}} \right)}{x}}=?\)

[Снежана]

а почему е впереди предела?

[Алексей]

а почему е впереди предела?

Ну, давайте вернемся малость назад. У нас был предел вида \(\lim_{x\to 0} a^b\). Мы установили, что \(a^b=e^{b\ln a}\), т.е.

\(\lim_{x\to 0} a^b=\lim_{x\to 0} e^{b\ln a}=e^{\lim_{x\to 0} b\ln a}\)

Мы рассмотрели предел \(\lim_{x\to 0} b\ln a\) и выяснили, что он равен -3. Вот теперь и нужно вернуться к исходному пределу, и зная, что \(\lim_{x\to 0} b\ln a=-3\) сказать, чему равно выражение \(e^{\lim_{x\to 0} b\ln a}=\)?

[Снежана]

значит так?
\(\lim_{x\to 0}\left(2-e^{\arcsin^2\sqrt{x}} \right)^{\frac{3}{x}}=\lim_{x\to 0}e^{\frac{3}{x}\cdot \ln\left(2-e^{\arcsin ^2\sqrt{x}} \right)}=e^{\lim_{x\to 0}\frac{3 \ln\left(2-e^{\arcsin ^2\sqrt{x}} \right)}{x}}=e^{-3\lim_{x\to 0}\frac{x}{x}}=e^{-3}\cdot 1=\frac{1}{e^3}\)

[Алексей]

Внимательнее гляньте Там же степень, а не умножение