Пределы

[Алексей]

Ну, тут всё не так страшно, как кажется. Грубо говоря, чтобы узнать, например, чему равен \(\lim_{x\to 3}(\sin x^2+4x-9)\) просто подставим вместо \(x\) число \(3\), т.е.:

\(\lim_{x\to 3}(\sin x^2+4x-9)=\sin 3^2+4\cdot 3-9=\sin 9+3.\)

Иными словами: если \(x\to 3\), то \(\sin x^2+4x-9 \to \sin 9 +3\). Конечно, нельзя так просто "взять и подставить" число во всех пределах. В таких случаях говорят о "неопределенности" - вот в вашем пределе, например, имеем неопределенность \(1^{\infty}\).

Т.е., чтобы ответить на вопрос "к чему стремится выражение \(1-e^{\arcsin ^2\sqrt{x}}\) если \(x\to 0\)" вам нужно всего-то подставить ноль вместо \(x\)

[Снежана]

если подставить 0 вместо х , то получиться 0 то есть \(1-e^0=1-1=0\) да?

[Алексей]

если подставить 0 вместо х , то получиться 0 то есть \(1-e^0=1-1=0\) да?

Точно Только лучше записать так: если \(x\to 0\), то \(1-e^{\arcsin ^2\sqrt{x}} \to 0\). Теперь давайте вернёмся к нашему пределу.

\(3\lim_{x\to 0}\frac{\ln\left(2-e^{\arcsin ^2\sqrt{x}} \right)}{x}\)

Выражение под логарифмом представим в таком виде: \(\ln\left(2-e^{\arcsin ^2\sqrt{x}} \right)=\ln\left(1+1-e^{\arcsin ^2\sqrt{x}} \right)\). Далее, мы знаем, что \(\ln(1+\alpha)\sim\alpha\) при \(\alpha\to 0\). А так как вы только что показали, что \(1-e^{\arcsin ^2\sqrt{x}} \to 0\), то \(\ln\left(1+1-e^{\arcsin ^2\sqrt{x}} \right) \sim\)?

[Снежана]

так?
\(\ln\left(1+1-e^{\arcsin ^2\sqrt{x}} \right) \sim\ln\left(1+{\arcsin ^2\sqrt{x}} \right)\)

[Алексей]

Почти Гляньте повнимательнее на равенство \(\ln(1+\alpha)\sim\alpha\). В нашем случае мы имеем \(\ln\left(1+1-e^{\arcsin ^2\sqrt{x}} \right)\). Что именно в выражении \(\ln\left(1+1-e^{\arcsin ^2\sqrt{x}} \right)\) выступает в роли \(\alpha\)? Вот если вы ответите на этот вопрос, то совершенно точно сможете подставить этот кусок (который стоит вместо буквы \(\alpha\)) в формулу \(\ln(1+\alpha)\sim\alpha\).

[Снежана]

так?
\(\ln\left(1+1-e^{\arcsin ^2\sqrt{x}} \right) \sim 1-e^{\arcsin ^2\sqrt{x}}\)

[Алексей]

Совершенно в точку Теперь давайте вернёмся к нашему пределу:

\(3\lim_{x\to 0}\frac{\ln\left(2-e^{\arcsin ^2\sqrt{x}} \right)}{x}\)

Замените логарифм в числителе тем выражением, что вы получили, и будем использовать следующую эквивалентность.

[Снежана]

опять не получается что-то..только картинкой

[Алексей]

опять не получается что-то..только картинкой

Это неважно, главное что формула правильная. Только я вынесу еще минус за предел. При этом слагаемые в числителе поменяются местами:

\(3\lim_{x\to 0}\frac{1-e^{\arcsin ^2\sqrt{x}}}{x}=-3\lim_{x\to 0}\frac{e^{\arcsin ^2\sqrt{x}}-1}{x}\)

Теперь у нас есть ещё одна эквивалентность: \(e^\alpha-1\sim\alpha\) если \(\alpha\to 0\). И к вам сразу два вопроса:

1. к чему стремится \(\arcsin ^2\sqrt{x}\), если \(x\to 0\)?
2. если вы правильно ответите на предыдущий вопрос, то \(e^{\arcsin ^2\sqrt{x}}-1 \sim\)?

[Снежана]

так?
\(e^{\arcsin ^2\sqrt{x}}-1 \sim arcsin ^2\sqrt{x}\)
\(arcsin ^2\sqrt{x}\sim x\)