Пределы

[Алексей]

Я запишу равенство, которое станем использовать - \(a^b=e^{b\ln a}\).

Пару пояснений к этому равенству. Дело в том, что \(b\cdot \ln a=\ln a^b\), т.е. можно записать, что \(e^{b\ln a}=e^{\ln a^b}\).

Далее, так как \(e^{\ln z}=z\) (по определению логарифма), то \(e^{\ln a^b}=a^b\). Вот отсюда и имеем формулу \(a^b=e^{b\ln a}\). Если тут вопросов нету, то пойдём дальше

[Снежана]

пойдемте дальше

[Алексей]

Ок. Вот теперь будем делать дробь: у нас было выражение \(\left( 2-e^{\arcsin ^2\sqrt{x}} \right)^\frac{3}{x}\). Мы уже выяснили, что х - неотрицательный. Используем формулу \(a^b=e^{b \ln a}\). Только у нас \(a=2-e^{\arcsin ^2\sqrt{x}}\), \(b=\frac{3}{x}\). Т.е., \(\left( 2-e^{\arcsin ^2\sqrt{x}} \right)^\frac{3}{x}=\)?

[Снежана]

так?
\(\left( 2-e^{\frac{3}{x}\cdot ln\cdot {2 arcsin}^2\sqrt{x}} \right)^\frac{3}{x}\)

[Алексей]

Ой Вы малость перестарались с этой степенью. Тут всё гораздо проще: если \(a=2-e^{\arcsin ^2\sqrt{x}}\), \(b=\frac{3}{x}\), то:

\(e^{b\ln a}=e^{\frac{3}{x}\cdot \ln\left(2-e^{\arcsin ^2\sqrt{x}} \right)}\)

Т.е., если говорить о пределе, то

\(\lim_{x\to 0}\left(2-e^{\arcsin^2\sqrt{x}} \right)^{\frac{3}{x}}=\lim_{x\to 0}e^{\frac{3}{x}\cdot \ln\left(2-e^{\arcsin ^2\sqrt{x}} \right)}\)

Вот как-то так... Теперь рассмотрим предел степени, т.е. \(\lim_{x\to 0}\frac{3}{x}\cdot \ln\left(2-e^{\arcsin ^2\sqrt{x}} \right)\). Мы найдем этот предел, а потом возведем число \(e\) в степень, которую получим. Это и ответ будет


Вот, собственно, и дробь, которая была нужна. Только запишите произведение \(\frac{3}{x}\cdot \ln\left(2-e^{\arcsin ^2\sqrt{x}} \right)\) в виде одной дроби

[Снежана]

что то у меня только картинкой получилось.... вот так?

[Алексей]

Как всегда - почти так Учтите только одну маленькую деталь: никогда не разрывайте функции вроде \(\ln x\) таким образом: \(\ln(a+b)=\ln a+\ln b\). Это очень-очень грубая ошибка

Просто оставьте в таком виде:

\(\lim_{x\to 0}\frac{3 \ln\left(2-e^{\arcsin ^2\sqrt{x}} \right)}{x}\)

Тройку можно сразу вынести за знак предела и работать с тем, что осталось:

\(\lim_{x\to 0}\frac{3 \ln\left(2-e^{\arcsin ^2\sqrt{x}} \right)}{x}=3\lim_{x\to 0}\frac{\ln\left(2-e^{\arcsin ^2\sqrt{x}} \right)}{x}\)

Вот теперь поработаем с эквивалентностями

У нас есть эквивалентность \(\ln (1+\alpha)\sim \alpha\) при \(\alpha\to 0\). Как вы думаете, к чему стремится выражение \(1-e^{\arcsin ^2\sqrt{x}}\), если \(x\to 0\)?

[Снежана]

я думаю так
\(1-e^{\arcsin ^2\sqrt{x}}\sim\arcsin ^2\sqrt{x}\), при \(x\to 0\)

[Алексей]

Погодите Это всё потом Сначала просто - к какому числу стремится выражение \(1-e^{\arcsin ^2\sqrt{x}}\) если \(x\to 0\)?

[Снежана]

что-то я не понимаю