Пределы

[Снежана]

Вот еще один пример, я знаю,что тут неопределеность \(\left [ \infty -\infty \right ]\) да? А что дальше делать я не знаю
\(\lim_{x\to 0}\left [ 2-e^{arcsin^2}\sqrt{x} \right ]^\frac{3}{x}\)

[Алексей]

Ну, насчет вида неопределенности я бы поспорил. У нас задан предел \(\lim_{x\to 0}\left(2-e^{\arcsin^2\sqrt{x}} \right)^{\frac{3}{x}}\). Если \(x\to 0\), то \(\sqrt{x}\to 0\), поэтому \(\arcsin^2\sqrt{x} \to 0\) (дело в том, что \(\arcsin 0=0\)). То есть, грубо говоря, в скобках мы получаем \(2-e^0=2-1=1\). А вот в степени выйдет \(\frac{3}{x}\to \infty\). Такая неопределенность обозначается \(1^{\infty}\). Есть для вас два вопроса

Может ли x быть меньше нуля?

Почему \(\frac{3}{x}\to \infty\)?

Какие есть идеи насчет ответов?

[Снежана]

я считаю,что может х быть меньше нуля, а то что 3/x= бесконечность, потому что х - любое число?? или нет?

[Алексей]

Так, я предыдущего сообщения не видел, а вы его не писали Давайте я немного подскажу: гляньте, какое выражение стоит под арксинусом, а потом скажите, может ли быть x меньше нуля.

А насчет второго вопроса: скажите, у вас есть под рукой калькулятор? Проведем маленький числовой эксперимент.

[Снежана]

насчет первого вопроса,я что-то не понимаю.... меньше нуля быть х не может потому что под корнем?
а насчет второго, калькулятор есть)

[Алексей]

насчет первого вопроса,я что-то не понимаю.... меньше нуля быть х не может потому что под корнем?

В точку Корень-то квадратный, а значит, что выражение под ним меньше нуля быть никак не может. Т.е., можно условие несколько уточнить: x не просто подходит к нулю, но он подходит к нулю, оставаясь при этом больше нуля. Говорят в таких случаях, что x подходит к нулю справа.

а насчет второго, калькулятор есть)

И это отлично Представьте, что мы ближе и ближе подходим к нулю. Разумеется, при этом остаёмся больше нуля. Т.е., допустим, \(x\) принимает значения 0,1; 0,058; 0,00094; 0,000003 и так далее. Всё ближе и ближе к нулю. А теперь попробуйте посчитать, какие значения будет принимать \(\frac{3}{x}\). Т.е.,

\(x=0,1;\;\; \frac{3}{x}=\frac{3}{0,1}=?\)
\(x=0,058;\;\; \frac{3}{x}=\frac{3}{0,058}=?\)
\(x=0,00094;\;\; \frac{3}{x}=\frac{3}{0,00094}=?\)
\(x=0,000003;\;\; \frac{3}{x}=\frac{3}{0,000003}=?\)

[Снежана]

так?
\(x=0,1;\;\; \frac{3}{x}=\frac{3}{0,1}=30\)
\(x=0,058;\;\; \frac{3}{x}=\frac{3}{0,058} \approx \ {52}\)
\(x=0,00094;\;\; \frac{3}{x}=\frac{3}{0,00094} \approx \ {3192}\)
\(x=0,000003;\;\; \frac{3}{x}=\frac{3}{0,000003}=1000000\)

[Алексей]

Вот и результат вашего эксперимента. Замечаете, что \(x\) всё меньше и меньше; всё ближе и ближе к нулю. При этом выражение \(\frac{3}{x}\) всё больше и больше. По сути, дробь \(\frac{3}{x}\) неограниченно возрастает. В принципе, это и укладывается в фразу: если \(x\to 0\) то \(\frac{3}{x}\to \infty\).

Тут можно даже более точно сказать: так как у нас \(x\) положительный, то \(\frac{3}{x}\to +\infty\).

Если с этим вопросов нету, то перейдём к пределу. Если вопросы есть - давайте

[Снежана]

тут все понятно можно перейти к пределу

[Алексей]

Итак, тут пойдем иным путём Сейчас примерно напишу, каким.