№2180

[arkadag]

Условие
Найти интеграл \(\int\frac{x^4dx}{(x^2-1)(x+2)}\).

Решение
\(\int\frac{x^4dx}{(x^2-1)(x+2)} = \int\frac{x^4-1+1}{(x^2-1)(x+2)}dx =
\int\frac{x^4-1}{(x^2-1)(x+2)}dx+\int\frac{dx}{(x^2-1)(x+2)} =
\int\frac{(x^2-1)(x^2+1)}{(x^2-1)(x+2)}dx+\int\frac{dx}{(x^2-1)(x+2)} =
\int\frac{x^2+1}{x-2}dx+\int\frac{dx}{(x^2-1)(x+2)}\)

Разделив \(x^2+1\) на \(x-2\), получим:
\(\frac{x^2+1}{x-2} = x-2+\frac{5}{x-2}\)

Возвращаясь к интегралу, получим

\(\int\frac{x^2+1}{x-2}dx+\int\frac{dx}{(x^2-1)(x+2)} =
\int{\left(x-2+\frac{5}{x-2}\right)dx}+\int\frac{dx}{(x-1)(x+1)(x+2)}\)

Для разложения дроби на элементарные воспользуемся методом неопределённых коэффициентов:

\(\frac{1}{(x-1)(x+1)(x+2)} =
\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x+2} =
\frac{A(x+1)(x+2)+B(x-1)(x+2)+C(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)(x+2)}\)

\(1=A(x+1)(x+2)+B(x-1)(x+2)+C(x-1)(x+1)=A(x^2+3x+2)+B(x^2+x-2)+C(x^2-1)\)

\(\left\{\begin{aligned}
&A+B+C=0;\\
&3A+B=0\\
&2A-2B-C=1;
\end{aligned}\right.\)

Решив данную систему, получим \(A=\frac{1}{6},B=-\frac{1}{2},C=\frac{1}{3}\). Возвращаемся к исходному интегралу:
\(\int{\left(x-2+\frac{5}{x+2}\right)dx}+\int\frac{dx}{(x-1)(x+1)(x+2)}=
\int{\left(x-2+\frac{5}{x+2}\right)dx}+\int{\left(\frac{1}{6(x-1)}-\frac{1}{2(x+1)}+\frac{1}{3(x+2)}\right)dx}=
\frac{x^2}{2}-2x+5\ln|x+2|+\frac{1}{6}\cdot\ln|x-1|-\frac{1}{2}\cdot\ln|x+1|+\frac{1}{3}\ln|x+2|+C=
\frac{x^2}{2}-2x+\frac{1}{6}\cdot\ln|x-1|-\frac{1}{2}\cdot\ln|x+1|+\frac{16}{3}\ln|x+2|+C\)
Ответ: \(\frac{x^2}{2}-2x+\frac{1}{6}\cdot\ln|x-1|-\frac{1}{2}\cdot\ln|x+1|+\frac{16}{3}\ln|x+2|+C\)

[Алексей]

Мне кажется, что в решении есть ошибки. Например, после сокращения дроби мы получим следующее:

\(
\frac{(x^2-1)(x^2+1)}{(x^2-1)(x+2)}=
\frac{x^2+1}{x+2}
\)

Т.е. в знаменателе будет \(x+2\), а не \(x-2\).

Вообще, здесь под интегралом имеем неправильную рациональную дробь, поэтому можно разделить числитель на знаменатель, получив в итоге следующее:

\(
\frac{x^4}{\left(x^2-1\right)(x+2)}
=x-2 + \frac{5x^2-4}{\left(x^2-1\right)(x+2)}
\)

А далее просто раскладывать дробь \(\frac{5x^2-4}{\left(x^2-1\right)(x+2)}\) стандартным алгоритмом.