(1) По теореме об арифметике пределов выполнено \(\lim_{n \to \infty}\frac{(-1)^{2n}}{2n} + \frac{1 + (-1)^{2n}}{2} = \lim_{n \to \infty}\frac{1}{2n} + 1 = 1.\)
По теореме об арифметике пределов выполнено \(\lim_{n \to \infty}\frac{(-1)^{2n-1}}{2n-1} + \frac{1 + (-1)^{2n - 1}}{2} = \lim_{n \to \infty}\frac{-1}{2n-1} + 0 = 0.\)
Тогда по номеру 114 \(\left \{ 1, 0 \right \}\) множество частичных пределов данной последовательности.
Подпоследовательность с четными номерами убывает, последовательность с нечетными номерами возрастает. Несложно увидеть, что минимальным значением последовательности будет -1, наибольшим \(\frac{3}{2}.\)
Докажем формально.
Зволим \(\varepsilon \in \mathbb{R}, \varepsilon > 0\) произвольным образом.
(i) Зволим \(n \in \mathbb{N}\) произвольным образом. Из написанного выше следует, что при нечетных n последовательность имеет отрицательные значения. Тогда остается доказать, что \(\frac{(-1)^{2n}}{2n} + \frac{1 + (-1)^{2n}}{2} = \frac{1}{2n} + 1 \leq \frac{3}{2}.\)
Выполнено \(\frac{1}{2n} + 1 \leq \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}.\)
То есть \(\frac{3}{2}\) - верхняя грань.
(ii) Надо доказать, что \(\exists n_0 \in \mathbb{N}: \frac{(-1)^{n_0}}{n_0} + \frac{1 + (-1)^{n_0}}{2} > \frac{3}{2} - \varepsilon.\)
Положим \(n_0 = 2.\)
(iii) Из написанного выше следует, что при четных n последовательность имеет положительные значения.
Тогда остается доказать, что \(\frac{(-1)^{2n-1}}{2n-1} + \frac{1 + (-1)^{2n-1}}{2} = -\frac{1}{2n-1} \geq -1.\)
Выполнено \(n \geq 1 \Rightarrow 2n \geq 2 \Rightarrow 2n - 1 \geq 1 \Rightarrow \frac{1}{2n-1} \leq 1 \Rightarrow -\frac{1}{2n-1} \geq -1.\)
То есть \(-1\) - нижняя грань.
(iv) Надо доказать, что \(\exists n_0 \in \mathbb{N}: \frac{(-1)^{n_0}}{n_0} + \frac{1 + (-1)^{n_0}}{2} < -1 + \varepsilon.\)
Положим \(n_0 = 1.\)
(2) По теореме об арифметике пределов выполнено \(\lim_{n \to \infty}(-1)^{2n}\frac{6n-1}{2n+2} = \lim_{n \to \infty}\frac{6n-1}{2n+2} = 3.\)
По теореме об арифметике пределов выполнено \(\lim_{n \to \infty}(-1)^{2n-1}\frac{6n-4}{2n+1} = \lim_{n \to \infty}-\frac{6n-4}{2n+1} = -3.\)
Тогда по номеру 114 \(\left \{ -3, 3 \right \}\) множество частичных пределов данной последовательности.
(3) Выполнено \(\sin \frac{\pi}{2} = 1, \sin \pi = 0, \sin \frac{3\pi}{2} = -1, \sin 2\pi = 0.\)
Тогда пределы \(\lim_{n \to \infty}\frac{n^2 + 1}{n + 1} = +\infty, \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n + 1} = 0, \lim_{n \to \infty}\frac{-n^2 + 1}{n + 1} = -\infty\) будут частичными.
Очевидно, что множество членов последовательности неограничено.
То есть \(\sup\left \{ x_n \right \}_{n=1}^{\infty} = +\infty, \inf\left \{ x_n \right \}_{n=1}^{\infty} = -\infty.\)
(4) По теореме об арифметике пределов выполнено \(\lim_{n \to \infty}\frac{((-1)^{2n} - 1)4n^2 + 2n + 1}{2n} = \lim_{n \to \infty}\frac{2n+1}{2n} = 1.\)
По теореме об арифметике пределов выполнено \(\lim_{n \to \infty}\frac{((-1)^{2n-1} - 1)(2n-1)^2 + 2n - 1 + 1}{2n - 1} = \lim_{n \to \infty}\frac{-2(2n-1)^2 + 2n}{2n - 1} = \lim_{n \to \infty}\frac{-8n^2 + 10n - 2}{2n-1} = -\infty.\)
Тогда по номеру 114 \(\left \{ -\infty, 1 \right \}\) множество частичных пределов данной последовательности.
Очевидно, что последовательность неограничена снизу. Тогда \(\inf\left \{ x_n \right \}_{n=1}^{\infty} = -\infty.\)
Рассмотрим подпоследовательность с четными индексами \(\left \{ \frac{2n + 1}{2n} \right \}_{n=1}^{\infty}\).
Несложно заметить, что \(\forall n \in \mathbb{N}: \frac{2n + 1}{2n} = 1 + \frac{1}{2n}.\)
То есть максимум достигается в первом значении подпоследовательности.
В итоге \(\sup\left \{ x_n \right \}_{n=1}^{\infty} = \frac{3}{2}.\)
(5) Будем использовать результат, полученный в номере 114.
Выполнено \(\lim_{n \to \infty}\frac{(1 + \cos 2\pi n)2n + \log_{10}2n}{\log_{10}4n} = \lim_{n \to \infty}\frac{4n+\log_{10}2n}{\log_{10}4n} = \lim_{n \to \infty}\frac{4n}{\log_{10}4n} + \lim_{n \to \infty}\frac{\log_{10}2n}{\log_{10}4n} = +\infty + \lim_{n \to \infty}\frac{\log_{10}2 + \log_{10}n}{\log_{10}4 + \log_{10}n} = +\infty + \frac{0 + 1}{0 + 1} = +\infty\) по теореме об арифметике пределов и примеру 13 на странице 132.
Выполнено \(\lim_{n \to \infty}\frac{(1 + \cos \pi (2n-1))(2n-1) + \log_{10}(2n-1)}{\log_{10}(2(2n - 1))} = \lim_{n \to \infty}\frac{\log_{10}(2n-1)}{\log_{10}(2(2n-1))} = \lim_{n \to \infty}\frac{\log_{10}(2n-1)}{\log_{10}2 + \log_{10}(2n-1)} = \frac{1}{0 + 1} = 1\) по теореме об арифметике пределов.
В итоге по номеру 114 \(\left \{ 1, +\infty \right \}\) множество частичных пределов данной последовательности.
В первом же значении подпоследовательности с нечетными индексами достигается минимум, равный 0. Так как последовательность неограничена, то \(\sup\left \{ x_n \right \}_{n=1}^{\infty} = +\infty.\)