Формально.
Пусть \(\left \{ a_n \right \}_{n=1}^{\infty}\) последовательность вещественных чисел.
(1) Если \(\left \{ a_n \right \}_{n=1}^{\infty}\) невозрастающая, то \(\lim_{n \to \infty}a_n = inf\left \{a_n \right \}_{n=1}^{\infty}.\)
(2) Если \(\left \{ a_n \right \}_{n=1}^{\infty}\) неубывающая, то \(\lim_{n \to \infty}a_n = sup\left \{a_n \right \}_{n=1}^{\infty}.\)
Доказательство:
(1) Возможны два случая.
(i) Пусть \(inf\left \{a_n \right \}_{n=1}^{\infty} = A \in \mathbb{R}.\)
Зволим \(\varepsilon \in \mathbb{R}, \varepsilon > 0\) произвольным образом.
Тогда по определению инфимума
(a) \(\forall n \in \mathbb{N}: a_n \geq A\)
(b) \(\exists n_0 \in \mathbb{N}: a_{n_0} < A + \varepsilon\)
Последовательность \(\left \{ a_n \right \}_{n=1}^{\infty}\) невозрастающая, тогда
\(\forall n \in \mathbb{N}, n \geq n_0: A - \varepsilon < A \leq a_n \leq a_{n_0} < A + \varepsilon \Rightarrow |a_n - A| < \varepsilon.\)
То есть \(\lim_{n \to \infty}a_n = A = inf\left \{a_n \right \}_{n=1}^{\infty}.\)
(ii) Пусть \(inf\left \{a_n \right \}_{n=1}^{\infty} = -\infty.\)
Зволим \(k \in \mathbb{R}\) произвольным образом.
Тогда \(\exists n_0 \in \mathbb{N}: a_{n_0} < k.\)
Последовательность \(\left \{ a_n \right \}_{n=1}^{\infty}\) невозрастающая, тогда
\(\forall n \in \mathbb{N}, n \geq n_0: a_n \leq a_{n_0} < k \Rightarrow a_n < k.\)
То есть \(\lim_{n \to \infty}a_n = -\infty = inf\left \{a_n \right \}_{n=1}^{\infty}.\)
(2) Аналогично.
По теореме о пределе подпоследовательности каждая подпоследовательность монотонной последовательности будет иметь тот же предел. А значит множество частичных пределов будет состоять из одного элемента.
