(1) Выполнено \(\forall n \in \mathbb{N}: \frac{-1}{n+1} \leq \frac{(-1)^n}{n+1} \leq \frac{1}{n+1}.\)
По теореме о трех пределах \(\lim_{n \to \infty}\frac{-1}{n+1} = \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n+1} = 0 \Rightarrow \lim_{n \to \infty}\frac{(-1)^n}{n+1} = 0.\)
По теореме о пределе подпоследовательности каждая подпоследовательность последовательности \(\left \{ \frac{(-1)^n}{n+1} \right \}_{n=1}^{\infty}\) имеет предел, равный нулю.
В итоге \(\left \{ 0 \right \}\) есть множество частичных пределов последовательности \(\left \{ \frac{(-1)^n}{n+1} \right \}_{n=1}^{\infty}.\)
(2) По теореме об арифметике пределов \(\lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{n+5} = \lim_{n \to \infty}\frac{n}{1 + \frac{5}{n}} = \frac{+\infty}{1 + 5 \cdot 0} = +\infty.\)
По теореме о пределе подпоследовательности каждая подпоследовательность последовательности \(\left \{ \frac{n^2}{n+5} \right \}_{n=1}^{\infty}\) имеет предел, равный \(+\infty\).
В итоге \(\left \{ +\infty \right \}\) есть множество частичных пределов последовательности \(\left \{ \frac{n^2}{n+5} \right \}_{n=1}^{\infty}.\)
(3) По теореме об арифметике пределов \(\lim_{n \to \infty}\frac{1 - n^3}{1 + n^2} = \lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{n^2} - n}{\frac{1}{n^2} + 1} = \frac{0 - \infty}{1 + 0} = -\infty.\)
По теореме о пределе подпоследовательности каждая подпоследовательность последовательности \(\left \{ \frac{1 - n^3}{1 + n^2} \right \}_{n=1}^{\infty}\) имеет предел, равный \(-\infty\).
В итоге \(\left \{ -\infty \right \}\) есть множество частичных пределов последовательности \(\left \{ \frac{1 - n^3}{1 + n^2} \right \}_{n=1}^{\infty}.\)
(4) Достаточно рассмотреть подпоследовательности \(\left \{ (-1)^{2n - 1} \right \}_{n=1}^{\infty}, \left \{ (-1)^{2n} \right \}_{n=1}^{\infty}.\)
Выполнено \(\lim_{n \to \infty}(-1)^{2n - 1} = \lim_{n \to \infty}-1 = -1, \lim_{n \to \infty}(-1)^{2n} = \lim_{n \to \infty}1 = 1.\)
Тогда по номеру 114 \(\left \{ -1, 1 \right \}\) есть множество частичных пределов последовательности \(\left \{ (-1)^n \right \}_{n=1}^{\infty}.\)
(5) Достаточно рассмотреть подпоследовательности \(\left \{ 3^{(-1)^{2n}2n} \right \}_{n=1}^{\infty}, \left \{ 3^{(-1)^{2n-1}(2n-1)} \right \}_{n=1}^{\infty}.\)
По теореме о пределе геометрической последовательности \(\lim_{n \to \infty}3^{(-1)^{2n}2n} = \lim_{n \to \infty}3^{2n} = \lim_{n \to \infty}9^n = +\infty, \lim_{n \to \infty}3^{(-1)^{2n-1}(2n-1)} = \lim_{n \to \infty}3^{1 - 2n} = 3\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{9})^n = 0.\)
Тогда по номеру 114 \(\left \{ +\infty, 0 \right \}\) есть множество частичных пределов последовательности \(\left \{ 3^{n(-1)^n } \right \}_{n=1}^{\infty}.\)
(6) Достаточно рассмотреть подпоследовательности \(\left \{\sin\frac{\pi n}{2} \right \}_{n=1}^{\infty}, \left \{ \sin\frac{\pi (2n-1)}{4} \right \}_{n=1}^{\infty}.\)
(i) Для последовательности \(\left \{\sin\frac{\pi n}{2} \right \}_{n=1}^{\infty}\) рассмотрим подпоследовательности \(\left \{\sin \pi n \right \}_{n=1}^{\infty}, \left \{\sin\frac{\pi (2n-1)}{2} \right \}_{n=1}^{\infty}.\)
Выполнено \(\lim_{n \to \infty}\sin \pi n = 0, \lim_{n \to \infty}\sin\frac{\pi (2n-1)}{2} = \lim_{n \to \infty}\sin(\pi n - \frac{\pi}{2}) = \lim_{n \to \infty}-\cos \pi n.\)
Для последовательности \(\left \{-\cos \pi n \right \}_{n=1}^{\infty}\) рассмотрим подпоследовательности \(\left \{-\cos 2\pi n \right \}_{n=1}^{\infty}, \left \{-\cos \pi (2n-1) \right \}_{n=1}^{\infty}.\)
Выполнено \(\lim_{n \to \infty}-\cos 2\pi n = -1, \lim_{n \to \infty}-\cos \pi (2n-1) = -\lim_{n \to \infty}\cos(2 \pi n - \pi) = -\lim_{n \to \infty}-\cos2 \pi n = 1.\)
(ii) Для последовательности \(\left \{\sin\frac{\pi (2n-1)}{4} \right \}_{n=1}^{\infty}\) рассмотрим подпоследовательности \(\left \{\sin (\pi n - \frac{\pi}{4}) \right \}_{n=1}^{\infty}, \left \{\sin (\pi n - \frac{3\pi}{4}) \right \}_{n=1}^{\infty}.\)
Выполнено \(\lim_{n \to \infty}\sin (\pi n - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \lim_{n \to \infty}\sin (\pi n - \frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}.\)
В итоге по номеру 114 получаем множество частичных пределов \(\left \{1, -1, 0, -\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right \}.\)
(7) Достаточно рассмотреть подпоследовательности \(\left \{2n\cos \pi n \right \}_{n=1}^{\infty}, \left \{ (2n-1)\cos (\pi n - \frac{\pi}{2}) \right \}_{n=1}^{\infty}.\)
Аналогичным выше рассуждением получим множество \(\left \{ +\infty, -\infty, 0 \right \}\) частичных пределов.