Докажем от противного.
Пусть \(\left \{ x_n \right \}_{n=1}^{\infty}\) последовательность вещественных чисел, \(\lim_{n \to \infty}x_{2n} = a, \lim_{n \to \infty}x_{2n - 1} = b, \lim_{n \to \infty}x_{k_n} = c, a, b, c \in \mathbb{R^{*}}, a \neq b \neq c.\)
Выполнено \(a \neq b \neq c.\) Тогда существуют попарно непересекающиеся окрестности \(B_{\varepsilon}(a), B_{\varepsilon}(b), B_{\varepsilon}(c), \varepsilon \in \mathbb{R}, \varepsilon > 0.\)
Выполнено \(\lim_{n \to \infty}x_{2n} = a\), тогда \(\exists n_1 \in \mathbb{N} \forall n \geq n_1: x_{2n} \in B_{\varepsilon}(a).\)
Выполнено \(\lim_{n \to \infty}x_{2n-1} = b\), тогда \(\exists n_2 \in \mathbb{N} \forall n \geq n_2: x_{2n-1} \in B_{\varepsilon}(b).\)
Выполнено \(\lim_{n \to \infty}x_{k_n} = c\), тогда \(\exists n_3 \in \mathbb{N} \forall n \geq n_3: x_{k_n} \in B_{\varepsilon}(c).\)
Положим \(n_0 = max\left \{ n_1, n_2, n_3 \right \}.\)
(i) Пусть \(n_0\) четное.
Тогда \(\exists x_{n_0} \in B_{\varepsilon}(a) \cap B_{\varepsilon}(c).\)
Это противоречие с тем, что \(B_{\varepsilon}(a) \cap B_{\varepsilon}(c) = \varnothing.\)
(ii) Пусть \(n_0\) нечетное.
Тогда \(\exists x_{n_0} \in B_{\varepsilon}(b) \cap B_{\varepsilon}(c).\)
Это противоречие с тем, что \(B_{\varepsilon}(b) \cap B_{\varepsilon}(c) = \varnothing.\)
В итоге получаем, что \(\left \{ a,b \right \}\) множество частичных пределов последовательности \(\left \{ x_n \right \}_{n=1}^{\infty}.\)