Пусть \(\left \{ a_n \right \}_{n=1}^{\infty}\) последовательность вещественных чисел, \(\left \{ a_{k_n} \right \}_{n=1}^{\infty}\) ее подпоследовательность.
(1) Пусть \(\lim_{n \to \infty}a_{k_n} = a \in \mathbb{R^{*}}.\)
Тогда \(\forall \varepsilon \in \mathbb{R}, \varepsilon > 0 \exists n_0 \in \mathbb{N} \forall n \geq n_0: a_{k_n} \in B_{\varepsilon}(a).\)
Это означает, что в окрестности точки а произвольного радиуса содержится бесконечное число членов подпоследовательности \(\left \{ a_{k_n} \right \}_{n=1}^{\infty}\), а значит и последовательности \(\left \{ a_n \right \}_{n=1}^{\infty}.\)
(2) Пусть в любой окрестности а содержится бесконечное число членов последовательности \(\left \{ a_n \right \}_{n=1}^{\infty}.\)
Тогда можно построить подпоследовательность последовательности \(\left \{ a_n \right \}_{n=1}^{\infty}\), для которой выполнено \(\forall n \in \mathbb{N}: a_{k_n} \in B_{\frac{1}{n}}(a).\)
Утверждаем, что такая последовательность имеет предел, равный а.
(i) Пусть \(a \in \mathbb{R}.\)
Выполнено \(\forall n \in \mathbb{N}: a_{k_n} \in B_{\frac{1}{n}}(a) \Rightarrow a - \frac{1}{n} < a_{k_n} < a + \frac{1}{n}.\)
По теореме об арифметике пределов \(\lim_{n \to \infty}a + \frac{1}{n} = \lim_{n \to \infty}a - \frac{1}{n} = a.\)
В итоге по теореме о трех пределах \(\lim_{n \to \infty}a_{k_n} = a.\)
(ii) Пусть \(a = +\infty.\)
Выполнено \(\forall n \in \mathbb{N}: a_{k_n} \in B_{\frac{1}{n}}(+\infty) \Rightarrow a_{k_n} > n.\)
По теореме о двух пределах \(\lim_{n \to \infty}n = +\infty \Rightarrow \lim_{n \to \infty}a_{k_n} = +\infty = a.\)
(iii) Пусть \(a = -\infty.\)
Выполнено \(\forall n \in \mathbb{N}: a_{k_n} \in B_{\frac{1}{n}}(-\infty) \Rightarrow a_{k_n} < -n.\)
По теореме о двух пределах \(\lim_{n \to \infty}-n = -\infty \Rightarrow \lim_{n \to \infty}a_{k_n} = -\infty = a.\)