Пусть \(\forall n \in \mathbb{N}: x_n = n(1 + (-1)^n).\)
Утверждаем, что последовательность \(\left \{ x_n \right \}_{n=1}^{\infty}\) неограничена сверху.
Зволим \(k \in \mathbb{R}\) произвольным образом.
По теореме "аксиома" Архимеда \(\exists n \in \mathbb{N}: n > k.\)
Положим \(n_0 = 2n \Rightarrow n_0 > k.\)
Тогда \(x_{n_0} = 2n(1 + (-1)^{2n}) = 4n > k.\)
Рассмотрим подпоследовательность \(\left \{ x_{2n-1} \right \}_{n=1}^{\infty}.\)
Тогда \(\lim_{n \to \infty}x_{2n-1} = \lim_{n \to \infty}(2n-1)(1 + (-1)^{2n-1}) = \lim_{n \to \infty}(2n-1)\cdot 0 = \lim_{n \to \infty}0 = 0.\)