(1) Можно указать последовательность \(\left \{ (-1)^{2n} \right \}_{n=1}^{\infty}.\)
Это подпоследовательность последовательности \(\left \{ (-1)^n \right \}_{n=1}^{\infty}\), так как \(\left \{ 2n \right \}_{n=1}^{\infty}\) является возрастающей последовательностью натуральных чисел.
Выполнено \(\lim_{n \to \infty}(-1)^{2n} = \lim_{n \to \infty}1 = 1.\)
(2) Можно указать последовательность \(\left \{ \sin\pi n \right \}_{n=1}^{\infty}.\)
Это подпоследовательность последовательности \(\left \{ \frac{\sin \pi n}{4} \right \}_{n=1}^{\infty}\), так как \(\left \{ 4n \right \}_{n=1}^{\infty}\) является возрастающей последовательностью натуральных чисел.
Выполнено \(\lim_{n \to \infty}\sin \pi n = \lim_{n \to \infty}0 = 0.\)
(3) Можно указать последовательность \(\left \{1 \right \}_{n=1}^{\infty}.\)
Это подпоследовательность последовательности \(\left \{ n - 5E(\frac{n-1}{5}) \right \}_{n=1}^{\infty}\), так как \(\left \{ 5n + 1 \right \}_{n=1}^{\infty}\) является возрастающей последовательностью натуральных чисел.
Выполнено \(\lim_{n \to \infty}1 = 1.\)