(1) Пусть \(\forall n \in \mathbb{N}: x_n = \frac{1}{n^2}, y_n = n.\)
Тогда \(\lim_{n \to \infty}x_n = 0, \lim_{n \to \infty}y_n = \infty.\)
Выполнено \(\lim_{n \to \infty}x_ny_n = \lim_{n \to \infty}\frac{n}{n^2} = \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n} = 0.\)
(2) Пусть \(\forall n \in \mathbb{N}: x_n = \frac{1}{n}, y_n = n.\)
Тогда \(\lim_{n \to \infty}x_n = 0, \lim_{n \to \infty}y_n = \infty.\)
Выполнено \(\lim_{n \to \infty}x_ny_n = \lim_{n \to \infty}\frac{n}{n} = \lim_{n \to \infty}1 = 1.\)
(3) Пусть \(\forall n \in \mathbb{N}: x_n = \frac{1}{n}, y_n = n^2.\)
Тогда \(\lim_{n \to \infty}x_n = 0, \lim_{n \to \infty}y_n = \infty.\)
Выполнено \(\lim_{n \to \infty}x_ny_n = \lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{n} = \lim_{n \to \infty}n = \infty.\)
(4) Пусть \(\forall n \in \mathbb{N}: x_n = \frac{(-1)^n}{n}, y_n = n.\)
Тогда \(\lim_{n \to \infty}y_n = \infty.\)
Утверждаем, что \(\lim_{n \to \infty}\frac{(-1)^n}{n} = 0.\)
Выполнено \(\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n} = 0, \forall n \in \mathbb{N}: |(-1)^n| \leq 1.\)
В итоге по теореме о пределе произведения ограниченной и стремящейся к нулю последовательностей \(\lim_{n \to \infty}\frac{(-1)^n}{n} = 0.\) То есть \(\lim_{n \to \infty}x_n = 0.\)
Выполнено \(\lim_{n \to \infty}x_ny_n = \lim_{n \to \infty}\frac{n(-1)^n}{n} = \lim_{n \to \infty}(-1)^n.\)
В номере 46 мы доказывали, что предела такой последовательности не существует.