(1) Пусть \(\forall n \in \mathbb{N}: x_n = n, y_n = n^2.\)
Тогда \(\lim_{n \to \infty}x_n = \lim_{n \to \infty}y_n = +\infty.\)
Выполнено \(\lim_{n \to \infty}\frac{x_n}{y_n} = \lim_{n \to \infty}\frac{n}{n^2} = \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n} = 0.\)
(2) Пусть \(\forall n \in \mathbb{N}: x_n = n, y_n = n.\)
Тогда \(\lim_{n \to \infty}x_n = \lim_{n \to \infty}y_n = +\infty.\)
Выполнено \(\lim_{n \to \infty}\frac{x_n}{y_n} = \lim_{n \to \infty}\frac{n}{n} = \lim_{n \to \infty}1 = 1.\)
(3) Пусть \(\forall n \in \mathbb{N}: x_n = n^2, y_n = n.\)
Тогда \(\lim_{n \to \infty}x_n = \lim_{n \to \infty}y_n = +\infty.\)
Выполнено \(\lim_{n \to \infty}\frac{x_n}{y_n} = \lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{n} = \lim_{n \to \infty}n = +\infty.\)
(4) Пусть \(\forall n \in \mathbb{N}: x_n = 2n + n(-1)^n, y_n = n.\)
Выполнено \(\forall n \in \mathbb{N}: 2 + (-1)^n \geq 1.\)
Тогда \(\forall n \in \mathbb{N}: x_n = n(2 + (-1)^n) \geq n.\)
Тогда по теореме о двух пределах \(\lim_{n \to \infty}n = +\infty \Rightarrow \lim_{n \to \infty}x_n = +\infty.\)
То есть \(\lim_{n \to \infty}x_n = \lim_{n \to \infty}y_n = +\infty.\)
В итоге \(\lim_{n \to \infty}\frac{x_n}{y_n} = \lim_{n \to \infty}\frac{2n + n(-1)^n}{n} = \lim_{n \to \infty}2 + (-1)^n.\)
Утверждаем, что \(\lim_{n \to \infty}2 + (-1)^n\) не существует.
Рассмотрим подпоследовательности с четными и нечетными номерами.
Тогда \(\lim_{n \to \infty}2 + (-1)^{2n - 1} = \lim_{n \to \infty}2 + (-1) = \lim_{n \to \infty}1 = 1, \lim_{n \to \infty}2 + (-1)^{2n} = \lim_{n \to \infty}2 + 1 = \lim_{n \to \infty}3 = 3.\)
По теореме о пределе подпоследовательности \(\lim_{n \to \infty}\frac{x_n}{y_n} = \lim_{n \to \infty}2 + (-1)^n\) не существует.