общий член ряда

[...]

ряд: 1 + 1/3 - 1/2 + 1/5 + 1/7 - 1/4 + 1/9 + 1/11 - 1/6 + ...
логика ряда предельно проста, но возникли затруднения с тем, как получить форму общего члена

[Алексей]

Попробуйте записать общий член ряда несколькими различными выражениями. Например, рассмотрим такие члены ряда:

\(
u_1 = 1;\\
u_4 = \frac{1}{5};\\
u_7 = \frac{1}{9};\\
\ldots
\)

Номера этих членов ряда, как и знаменатели дробей, образуют арифметическую прогрессию. Например, для номеров будем иметь:

\(
a_k = 1 + 3 (k-1) = 3k - 2
\)

Для знаменателей получим \(b_k = 4k-3\). Т.е. если \(n=3k-2\), где \(k\in{N}\), то \(u_n=\frac{1}{4k-3}\).

Или, если из равенства \(n=3k-2\) выразить \(k\), можно записать так: \(u_n = \frac{3}{4n-1}\).

Таким образом, получим

\(
u_n = \left\{\begin{aligned}
& \frac{3}{4n-1};\; n=3k-2,\,k\in{N}\\
& \ldots
\end{aligned}\right.

\)

Аналогично можно рассмотреть и остальные подпоследовательности значений \(u_n\).

[...]

не совсем понял, ведь u_7 = 1/9? тогда прогрессии не будет

[Алексей]

не совсем понял, ведь u_7 = 1/9? тогда прогрессии не будет

Банальная опечатка в одном месте. Поправил знаменатель у \(u_7\).