(1) Зволим \(k \in \mathbb{R}, k > 0\) произвольным образом.
(i) Выполнено \(\lim_{n \to \infty}x_n = +\infty, \lim_{n \to \infty}y_n = +\infty.\)
Тогда \(\exists n_1 \in \mathbb{N}\forall n \geq n_1: x_n > k, \exists n_2 \in \mathbb{N}\forall n \geq n_2: y_n > k.\)
Положим \(n_0 = max\left \{ n_1, n_2 \right \}.\)
Тогда \(\forall n \geq n_0: x_ny_n > k^2 \geq k \Rightarrow x_ny_n > k.\)
Следовательно, \(\lim_{n \to \infty}x_ny_n = +\infty.\)
(ii) Выполнено \(\lim_{n \to \infty}x_n = -\infty, \lim_{n \to \infty}y_n = -\infty.\)
Тогда \(\exists n_1 \in \mathbb{N}\forall n \geq n_1: x_n < -k, \exists n_2 \in \mathbb{N}\forall n \geq n_2: y_n < -k.\)
Положим \(n_0 = max\left \{ n_1, n_2 \right \}.\)
Тогда \(\forall n \geq n_0: x_ny_n = -x_n(-y_n) > k^2 \geq k \Rightarrow x_ny_n > k.\)
Следовательно, \(\lim_{n \to \infty}x_ny_n = +\infty.\)
(2) Зволим \(k \in \mathbb{R}, k > 0\) произвольным образом.
Выполнено \(\lim_{n \to \infty}x_n = +\infty, \lim_{n \to \infty}y_n = -\infty.\)
Тогда \(\exists n_1 \in \mathbb{N}\forall n \geq n_1: x_n > k, \exists n_2 \in \mathbb{N}\forall n \geq n_2: y_n < -k.\)
Положим \(n_0 = max\left \{ n_1, n_2 \right \}.\)
Тогда \(\forall n \geq n_0: x_ny_n = -(-x_ny_n) < -k^2 \leq -k \Rightarrow x_ny_n < -k.\)
Следовательно, \(\lim_{n \to \infty}x_ny_n = -\infty.\)