(1) Это высказывание ложное.
Приведем контрпример.
Пусть \(\forall n \in \mathbb{N}: x_n = n.\)
В номере 79 мы доказывали, что \(\lim_{n \to \infty}n = +\infty.\) Причем \(\lim_{n \to \infty}|x_n| = \lim_{n \to \infty}|n| = \lim_{n \to \infty}n = +\infty.\) Тогда из номера 80 следует, что \(\lim_{n \to \infty}x_n = \infty.\)
Пусть \(\forall n \in \mathbb{N}: y_n = \frac{1}{n}.\) Выполнено \(\forall n\in \mathbb{N}:|y_n| \leq 1\), так как \(\forall n \in \mathbb{N}: n \geq 1.\)
Но \(\lim_{n \to \infty}|x_ny_n| = \lim_{n \to \infty}n \cdot \frac{1}{n} = \lim_{n \to \infty}1 = 1 \neq +\infty.\) Тогда из номера 80 следует, что последовательность \(\left \{ x_ny_n \right \}_{n=1}^{\infty}\) не является бесконечно большой.
(2) Нет.
Приведем контрпример.
Пусть \(\forall n \in \mathbb{N}: x_n = -n.\)
Выполнено \(\lim_{n \to \infty}|x_n| = \lim_{n \to \infty}|-n| = \lim_{n \to \infty}n = +\infty.\)
Тогда из номера 80 следует, что \(\lim_{n \to \infty}x_n = \infty.\)
Пусть \(\forall n \in \mathbb{N}: y_n = 0.\)
Выполнено \(\forall n \in \mathbb{N}: n \geq 0 \Rightarrow x_n = -n \leq 0 = y_n.\)
Но \(\lim_{n \to \infty}|y_n| = \lim_{n \to \infty}|0| = \lim_{n \to \infty}0 = 0 \neq +\infty.\)
Тогда из номера 80 следует, что последовательность \(\left \{y_n \right \}_{n=1}^{\infty}\) не является бесконечно большой.
(3) Опять же нет.
Приведем контрпример.
Пусть \(\forall n \in \mathbb{N}: x_n = n, \forall n \in \mathbb{N}: y_n = -n.\)
По пунктам (1), (2) \(\lim_{n \to \infty}x_n = \infty, \lim_{n \to \infty}y_n = \infty.\)
Но \(\lim_{n \to \infty}x_n + y_n = \lim_{n \to \infty}n - n = \lim_{n \to \infty}0 = 0 \neq +\infty.\)
Тогда из номера 80 следует, что последовательность \(\left \{x_n + y_n \right \}_{n=1}^{\infty}\) не является бесконечно большой.