Наверное, подразумевается, что нельзя использовать теорему об арифметике пределов. Поэтому докажем без нее, по определению.
(1) Зволим \(k \in \mathbb{R}, k > 0\) произвольным образом.
(i) Выполнено \(\lim_{n \to \infty} x_n = x \in \mathbb{R}, x > 0, \) тогда \(\exists n_1 \in \mathbb{N}\forall n \geq n_1: |x_n - x| < \frac{x}{2} \Rightarrow x_n > \frac{x}{2}.\)
Выполнено \(\lim_{n \to \infty} y_n = +\infty,\) тогда \(\exists n_2 \in \mathbb{N}\forall n \geq n_2: y_n > \frac{2k}{x}.\)
Положим \(n_0 = max\left \{ n_1, n_2 \right \}.\)
Тогда \(\forall n \geq n_0: x_ny_n > \frac{x}{2}\cdot\frac{2k}{x} = k.\)
В итоге по определению \(\lim_{n \to \infty} x_n\cdot y_n = +\infty.\)
(ii) Выполнено \(\lim_{n \to \infty} x_n = x \in \mathbb{R}, x > 0, \) тогда \(\exists n_1 \in \mathbb{N}\forall n \geq n_1: |x_n - x| < \frac{x}{2} \Rightarrow x_n < \frac{3x}{2}.\)
Выполнено \(\lim_{n \to \infty} y_n = -\infty,\) тогда \(\exists n_2 \in \mathbb{N}\forall n \geq n_2: y_n < -\frac{2k}{3x}.\)
Положим \(n_0 = max\left \{ n_1, n_2 \right \}.\)
Тогда \(\forall n \geq n_0: x_ny_n < \frac{x}{2}\cdot(-\frac{2k}{3x}) = -k.\)
В итоге по определению \(\lim_{n \to \infty} x_n\cdot y_n = -\infty.\)
(2) Зволим \(k \in \mathbb{R}, k > 0\) произвольным образом.
(i) Выполнено \(\lim_{n \to \infty} x_n = x \in \mathbb{R}, x < 0, \) тогда \(\exists n_1 \in \mathbb{N}\forall n \geq n_1: |x_n - x| < -\frac{x}{2} \Rightarrow x_n < \frac{x}{2}.\)
Выполнено \(\lim_{n \to \infty} y_n = +\infty,\) тогда \(\exists n_2 \in \mathbb{N}\forall n \geq n_2: y_n > -\frac{2k}{x}.\)
Положим \(n_0 = max\left \{ n_1, n_2 \right \}.\)
Тогда \(\forall n \geq n_0: -x_ny_n > -\frac{x}{2}\cdot(-\frac{2k}{x}) = k \Rightarrow x_ny_n < -k.\)
В итоге по определению \(\lim_{n \to \infty} x_n\cdot y_n = -\infty.\)
(ii) Выполнено \(\lim_{n \to \infty} x_n = x \in \mathbb{R}, x < 0, \) тогда \(\exists n_1 \in \mathbb{N}\forall n \geq n_1: |x_n - x| < -\frac{x}{2} \Rightarrow x_n > \frac{3x}{2}.\)
Выполнено \(\lim_{n \to \infty} y_n = -\infty,\) тогда \(\exists n_2 \in \mathbb{N}\forall n \geq n_2: y_n < \frac{2k}{x}.\)
Положим \(n_0 = max\left \{ n_1, n_2 \right \}.\)
Тогда \(\forall n \geq n_0: -x_ny_n < -\frac{3x}{2}\cdot \frac{2k}{3x} = -k \Rightarrow x_ny_n > k.\)
В итоге по определению \(\lim_{n \to \infty} x_n\cdot y_n = +\infty.\)