Пусть последовательность \(\left \{ x_n \right \}_{n=1}^{\infty}\) бесконечно большая.
Зволим \(k \in \mathbb{R}, k > 0\) произвольным образом.
Из условия для последовательности \(\left \{ y_n \right \}_{n=1}^{\infty}\) и свойств модуля следует, что \(C \in \mathbb{R}, C > 0.\)
Тогда \(\exists n_1 \in \mathbb{N} \forall n \geq n_0: |x_n| > kC.\)
Для последовательности \(\left \{ y_n \right \}_{n=1}^{\infty}\) выполнено \(\exists n_2 \in \mathbb{N} \forall n \geq n_0: |y_n| \leq C \Rightarrow \frac{1}{|y_n|} \geq \frac{1}{C}.\)
Положим \(n_0 = max\left \{n_1, n_2\right \}.\)
В итоге получаем \(\forall n \geq n_0: \frac{|x_n|}{|y_n|} \geq \frac{kC}{C} = k.\)
По определению последовательность \(\left \{ \frac{x_n}{y_n}\right \}_{n=1}^{\infty}\) бесконечно большая.