Определить область сходимости функционального ряда

[Alice]

\(\sum_{n=1}^{\infty} 2^{n}x^{3n}\arcsin (\frac{x}{3n})\)

При нахождении с помощью признака Коши не знаю, что делать с корнем эн-ной степени арксинуса()

[Алексей]

Знаете, я бы, наверное, начал немного не с этого. У вас суммируются функции вот такого вида: \(u_n=2^nx^{3n}\arcsin\frac{x}{3n}\). Вопрос: а при каких значениях переменной \(x\) эти функции будут определены? Исходя из наличия арксинуса можно сделать вывод, что данные функции определены при условии \(\left|\frac{x}{3n}\right|\le{1}\), т.е. \(|x|\le{3n}\) при всех \(n\in{N}\). Выбирая самое малое значение \(n\), получим интервал, на котором будут определены все функции \(u_n(x)\), т.е. \(-3\le{x}\le{3}\). Исследования можно проводить лишь при условии \(x\in[-3;3]\).

Конечно же, мы рассматриваем ряд из модулей, т.е. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|u_n(x)\right|\). Применять к этому ряду радикальный признак Коши мне видится не совсем целесообразным, хотя и не столь уж сложным делом. Мне кажется, что признак Д'Аламбера попроще будет, тем паче, что при его применении можно будет использовать эквивалентности вида \(\arcsin\frac{x}{n}\sim\frac{x}{n}\). Конечно же, данный признак применим, если \(u_n(x)\neq{0}\), однако этого легко добиться: принять \(x\neq{0}\).

\(
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right|
=2|x|^3
\)

Отсюда получаем, что при \(-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\lt{x}\lt\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\), \(x\neq{0}\) ряд сходится. Впрочем, банальной подстановкой убеждаемся, что при \(x=0\) ряд сходится, поэтому исключать это значение не нужно.

Таким образом. исходный ряд абсолютно сходится при \(-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\lt{x}\lt\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\). А далее уже проверяйте сходимость на концах интервала - используя признак сравнения в предельной форме.

[Гость]

Обалдеть! Спасибо Вам большое! Я бы, наверное, никогда не додумалась