Здравствуйте! Помогите пожалуйста разобраться с пределами:
1) \(\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}}\frac{\sqrt[4]{sinx}-\sqrt[3]{sinx}}{cos^{2}{x}}\)
2) \(\lim_{x\rightarrow -\infty }(x-\sqrt[3]{\frac{2x^{4}+x}{2x+cosx}})\)
3) \(\lim_{x\rightarrow +\infty }{x}^{\frac{3}{2}}(\sqrt{x+2}-2\sqrt{x+1}+\sqrt{x})\)
в первом вернее всего замену наверно надо сделать \(t = \sqrt[12]{sinx}\), а с косинусом что делать?
во втором и в третьем незнаю даже с чего начать
Пределы с иррациональностью
Re: Пределы с иррациональностью
В пункте №1 можно принять \(t=\sqrt[12]{\sin{x}}\), если учесть, что \(\cos^2{x}=1-\sin^2{x}\). В пункте №2, полагаю, поможет домножение на сопряжённое выражение, но тут надо пробовать. Пункт №3 есть решённый в решебнике Демидовича: №464.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: Пределы с иррациональностью
Благодарю за совет, а в пункте №2 можно сделать так: \(x\) представить как \(\sqrt[3]{x}^{3}\) и далее применить разность кубов или нельзя так?
Re: Пределы с иррациональностью
У вас получится выражение такого вида
Тогда получится разность кубов. В принципе, это возможно, конечно, но смысла в том не вижу.
\(
x-\sqrt[3]{a}
=\left(\sqrt[3]{x}\right)^3-\left(\sqrt[9]{a}\right)^3
\)
x-\sqrt[3]{a}
=\left(\sqrt[3]{x}\right)^3-\left(\sqrt[9]{a}\right)^3
\)
Тогда получится разность кубов. В принципе, это возможно, конечно, но смысла в том не вижу.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: Пределы с иррациональностью
\(\lim_{x\rightarrow -\infty}(x-\sqrt[3]{\frac{2x^{4}+x}{2x+cosx}})=[\infty-\infty]= \lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{(x-\sqrt[3]{\frac{2x^{4}+x}{2x+cosx}})(x^{2}+x\sqrt[3]{\frac{2x^{4}+x}{2x+cosx}}+\sqrt[3]{(\frac{2x^{4}+x}{2x+cosx})^{2}}}{x^{2}+x\sqrt[3]{\frac{2x^{4}+x}{2x+cosx}}+\sqrt[3]{(\frac{2x^{4}+x}{2x+cosx})^{2}}}=\\=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x^{3}-\frac{2x^{4}+x}{2x+cosx}}{x^{2}+x\sqrt[3]{\frac{2x^{4}+x}{2x+cosx}}+\sqrt[3]{(\frac{2x^{4}+x}{2x+cosx})^{2}}}=\\
=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{x^{2}+x\sqrt[3]{\frac{2x^{4}+x}{2x+cosx}}+\sqrt[3]{(\frac{2x^{4}+x}{2x+cosx})^{2}}}*\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{2x^{4}+x^{3}cosx-2x^{4}+x}{2x+cosx}\)
дальше что делать?
=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{x^{2}+x\sqrt[3]{\frac{2x^{4}+x}{2x+cosx}}+\sqrt[3]{(\frac{2x^{4}+x}{2x+cosx})^{2}}}*\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{2x^{4}+x^{3}cosx-2x^{4}+x}{2x+cosx}\)
дальше что делать?
Re: Пределы с иррациональностью
На основании чего вы перешли к произведению пределов? Формула \(\lim(a\cdot{b})=\lim{a}\cdot\lim{b}\) верна лишь при условии существования конечных пределов \(\lim{a}\) и \(\lim{b}\). Что-то я не вижу доказательства, что пределы, на которые вы разбили исходный предел, существуют.
Насколько я могу судить по первой прикидке, вам нужно сделать два действия:
Насколько я могу судить по первой прикидке, вам нужно сделать два действия:
- Записать выражение под пределом в виде \(\frac{p(x)}{q(x)}\), где \(p(x)=x^3\cos{x}-x\).
- Рассмотреть две последовательности \(x_n=\frac{\pi}{2}-2\pi{n}\) и \(y_n=\frac{\pi}{3}-2\pi{n}\) и показать, что пределы выражений \(\frac{p(x_n)}{q(x_n)}\) и \(\frac{p(y_n)}{q(y_n)}\) различаются. Это будет означать, что исходный предел не существует.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: Пределы с иррациональностью
а можно в принципе выражение под корнем подогнать под эквивалентность \(\sqrt[3]{1+x}-1\sim\frac{x}{3}\), и легче вычислить потом будет,
\(\sqrt[3]{\frac{2x^4+x}{2x+\cos(x)}}=\sqrt[3]{\frac{2x^{4}(1+\frac{1}{2x^3})}{2x(1+\frac{\cos(x)}{2x})}}=x\sqrt[3]{\frac{1+\frac{1}{2x^3}}{1+\frac{\cos(x)}{2x}}}\), правильно ли сделал?
\(\sqrt[3]{\frac{2x^4+x}{2x+\cos(x)}}=\sqrt[3]{\frac{2x^{4}(1+\frac{1}{2x^3})}{2x(1+\frac{\cos(x)}{2x})}}=x\sqrt[3]{\frac{1+\frac{1}{2x^3}}{1+\frac{\cos(x)}{2x}}}\), правильно ли сделал?
Re: Пределы с иррациональностью
Эквивалентности применяются в пределе от отношения функций \(\frac{f(x)}{g(x)}\). У вас под пределом имеется разность функций, а не их отношение.New-Man писал(а): ↑11 май 2020, 20:17 а можно в принципе выражение под корнем подогнать под эквивалентность \(\sqrt[3]{1+x}-1\sim\frac{x}{3}\), и легче вычислить потом будет,
\(\sqrt[3]{\frac{2x^4+x}{2x+\cos(x)}}=\sqrt[3]{\frac{2x^{4}(1+\frac{1}{2x^3})}{2x(1+\frac{\cos(x)}{2x})}}=x\sqrt[3]{\frac{1+\frac{1}{2x^3}}{1+\frac{\cos(x)}{2x}}}\), правильно ли сделал?
Я дал свой совет - ещё месяц назад. Не хотите следовать ему - не следуйте. Я вообще не понимаю, зачем целый месяц решать предел.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"