Доказать лемму
Доказать лемму
Помогите пожалуйста доказать лемму, а то у меня не очень с доказательствами
- Вложения
-
- Скриншот 26-05-2019 133420.png (6.34 КБ) 3709 просмотров
Re: Доказать лемму
Честно говоря, трудновато разглядеть знак в знаменателе. Можете прикрепить читаемый скриншот? Или наберите в редакторе формул.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: Доказать лемму
\(\ln\frac{k^{2}}{k^{2}-x^{2}}\leq \frac{x^{2}}{k^{2}-x^{2}}\)
Re: Доказать лемму
Ваше неравенство можно переписать так:
Обозначая \(t=\frac{x^2}{k^2-x^2}\), \(t\ge{0}\), придём к такому неравенству: \(t-\ln(1+t)\ge{0}\). Это неравенство доказывается стандартным способом: рассмотрите функцию \(f(t)=t-\ln(1+t)\) при условии \(t\ge{0}\) и покажите, что она убывает при \(t\gt{0}\). А далее, опираясь на значение \(f(0)\), делаете вывод относительно знака \(f(t)\).
\(
\ln\left(1+\frac{x^2}{k^2-x^2}\right) \le\frac{x^2}{k^2-x^2}
\)
\ln\left(1+\frac{x^2}{k^2-x^2}\right) \le\frac{x^2}{k^2-x^2}
\)
Обозначая \(t=\frac{x^2}{k^2-x^2}\), \(t\ge{0}\), придём к такому неравенству: \(t-\ln(1+t)\ge{0}\). Это неравенство доказывается стандартным способом: рассмотрите функцию \(f(t)=t-\ln(1+t)\) при условии \(t\ge{0}\) и покажите, что она убывает при \(t\gt{0}\). А далее, опираясь на значение \(f(0)\), делаете вывод относительно знака \(f(t)\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: Доказать лемму
Благодарю