Уважаемые математики. По определению сходимости ряда надо найти его частичную сумму. Подскажите, пожалуйста, что я делаю не так. Как работать с дробными пределами - не знаю. Возможны ли вообще такие пределы? Или я неправильно их посчитал? Что делать дальше я знаю.
\( S_n=\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k+12)(2k+13)}=\sum \limits_{k=1}^{n} \left (\frac{1}{2k+12}-\frac{1}{2k+13}\right)\)
\(\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{2k+13}=\sum \limits_{k=1,5}^{n+0,5} \frac{1}{2k+12}\)
Исследовать ряд на сходимость по определению сходимости ряда
-
- Сообщения: 4
- Зарегистрирован: 28 май 2018, 02:29
Re: Исследовать ряд на сходимость по определению сходимости ряда
Можете скинуть оригинальное условие примера?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
-
- Сообщения: 4
- Зарегистрирован: 28 май 2018, 02:29
Re: Исследовать ряд на сходимость по определению сходимости ряда
Исследовать ряд на сходимость по определению сходимости ряда:
\(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n+12)(2n+13)}\)
\(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n+12)(2n+13)}\)
Re: Исследовать ряд на сходимость по определению сходимости ряда
Дело в том, что основная идея решения таких примеров заключается в сокращении слагаемых. Например, для ряда с общим членом \(u_n=\frac{1}{7n-13}-\frac{1}{7n+1}\) несложно прикинуть, когда же дроби вида \(\alpha(n_1)=\frac{1}{7n_1-13}\) станут равными дробям вида \(\beta(n_2)=\frac{1}{7n_2+1}\). Я специально обозначил номер \(n\) буквами \(n_1\) и \(n_2\), чтобы различать номера дробей вида \(\alpha\) и \(\beta\).
Иными словами, когда разность между номерами данных дробей станет равна 2, дроби станут равными, а посему при записи частичной суммы ряда сократятся. Например, \(\alpha(4)=\beta(2)=\frac{1}{15}\), \(\alpha(3)=\beta(1)=\frac{1}{8}\) и так далее.
Вернёмся к вашему ряду, общий член которого имеет вид \(u_n=\frac{1}{2n+12}-\frac{1}{2n+13}\). Точно так же обозначая \(\alpha(n_1)=\frac{1}{2n_1+12}\) и \(\beta(n_2)=\frac{1}{2n_2+13}\), выясним, для каких же номеров будет выполнено равенство \(\alpha(n_1)=\beta(n_2)\):
Разность двух натуральных чисел не может равняться \(\frac{1}{2}\), поэтому имеем вполне логичный вывод: метод сокращения слагаемых в вашем примере не сработает.
\(7n_1-13=7n_2+1\), \(n_1-n_2=2\).
Иными словами, когда разность между номерами данных дробей станет равна 2, дроби станут равными, а посему при записи частичной суммы ряда сократятся. Например, \(\alpha(4)=\beta(2)=\frac{1}{15}\), \(\alpha(3)=\beta(1)=\frac{1}{8}\) и так далее.
Вернёмся к вашему ряду, общий член которого имеет вид \(u_n=\frac{1}{2n+12}-\frac{1}{2n+13}\). Точно так же обозначая \(\alpha(n_1)=\frac{1}{2n_1+12}\) и \(\beta(n_2)=\frac{1}{2n_2+13}\), выясним, для каких же номеров будет выполнено равенство \(\alpha(n_1)=\beta(n_2)\):
\(2n_1+12=2n_2+13\), \(n_1-n_2=\frac{1}{2}\).
Разность двух натуральных чисел не может равняться \(\frac{1}{2}\), поэтому имеем вполне логичный вывод: метод сокращения слагаемых в вашем примере не сработает.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
-
- Сообщения: 4
- Зарегистрирован: 28 май 2018, 02:29
Re: Исследовать ряд на сходимость по определению сходимости ряда
Спасибо. Я изначально понимал, что метод сокращений здесь вряд ли сработает. Но преподаватель чётко обозначил способ проверки ряда на сходимость. То есть через определение сходимости решить это задание нельзя, потому что частичную сумму здесь вычислить невозможно. Я правильно понял?
Re: Исследовать ряд на сходимость по определению сходимости ряда
Скажем так: сокращение слагаемых тут точно не пройдёт. Если вести речь о стандартном типовом расчёте, то я полагаю, что имеется ошибка условия.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
-
- Сообщения: 4
- Зарегистрирован: 28 май 2018, 02:29
Re: Исследовать ряд на сходимость по определению сходимости ряда
Огромное вам спасибо, что помогли разобраться