\(-f(x)=-x^3+2.5x^2+2x-1.5\)
А вот выражение для \(f(-x)\), которое, кстати, вы нашли совершенно верно:
\(f(-x)=-x^3-2.5x^2+2x+1.5\)
Как видите, \(f(-x)\neq{-f(x)}\), т.е. ни о какой нечётности тут речи нет. Впрочем, и о четности тоже, так как \(f(-x)\neq{f(x)}\). Таким образом, делаем вывод, что функция ни чётная ни нечётная.
Пересечение с осями Вы исследовали героически Действительно, \(f(0)=1.5\), т.е. график пересекает ось Oy в точке \((0; 1.5)\). Пересечение с осью Ox найдено верно. Я все решение дотошно не просматривал, но ответ верен: график пересекает ось Ox в точках \((-1;0)\), \((3;0)\), \((0.5; 0)\). Однако решение у вас несколько длинновато Насколько я понимаю, вы сразу заметили, что \(x=-1\) - корень уравнения \(x^3-2.5x^2-2x+1.5=0\). Чтобы найти остальные корни, проще было разделить многочлен \(x^3-2.5x^2-2x+1.5\) на бином \(x+1\), пользуясь, например, схемой Горнера. После применения схемы Горнера Вы получили бы следующее:
\(f(x)=(x+1)\left( x^2-\frac{7x}{2}+\frac{3}{2}\right)\)
Ну, и найдя остальные два корня, получим следующее:
\(f(x)=(x+1)\cdot(x-3)\cdot\left(x-\frac{1}{2}\right)\)
Зачем это нужно? А вот зачем: чтобы дать ответ на вопрос следующего пункта исследования.
Интервалы знакопостоянства
В этом пункте нас будет интересовать вопрос: на каких интервалах \(f(x)>0\), и на каких интервалах \(f(x)<0\). Вы получите ответ на этот вопрос после решения простенького неравенства:
\((x+1)\cdot(x-3)\cdot\left(x-\frac{1}{2}\right)>0\)
Проще всего применить метод интервалов. Ответ должен быть в такой форме:
- Если \(x\in\ldots\), то \(f(x)>0\).
- Если \(x\in\ldots\), то \(f(x)<0\).
После этого пункта наступает черёд следующего. В принципе, его можно и в самом конце сделать. Это зависит от используемой схемы исследования.
Асимптоты
Так как функция непрерывна при всех \(x\in{R}\), то вертикальных асимптот нет. Уравнение наклонных асимптот ищем в форме \(y=kx+b\). Угловой коэффициент \(k\) определяем по такой формуле:
\(k=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\ldots\)
И после этого останется всего 2 пункта, которые, обещаю, будут несложными