Обыкновенные дифференциальные уравнения
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Помогите пожалуйста решить! Нужно найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющими переменными и частное решение, удовлетворяющее начальному условию.
- Вложения
-
- задание 6.jpg (3.76 КБ) 7423 просмотра
Re: Обыкновенные дифференциальные уравнения
Для начала перенесите \(x\) в правую часть уравнения, а затем замените \(y'\) на \(\frac{dy}{dx}\). После этого запишите, что получилось, и продолжим.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: Обыкновенные дифференциальные уравнения
yy'=3-x-x^2
y*\(\frac{dy}{dx}\)=-x^2-x+3
Так?
y*\(\frac{dy}{dx}\)=-x^2-x+3
Так?
Re: Обыкновенные дифференциальные уравнения
Почти Икс нельзя так "отрывать" от выражения \(x^2yy'\). Можно просто разделить обе части на \(x^2\).
Т.е. сначала переносим \(x\) в правую часть:
А затем делим на \(x^2\) обе части:
А далее \(dx\) перебрасываем в правую часть, после чего берем два интеграла:
Т.е. сначала переносим \(x\) в правую часть:
\(x^2yy'=3-x\)
А затем делим на \(x^2\) обе части:
\(yy'=\frac{3-x}{x^2}\), \(y\frac{dy}{dx}=\frac{3-x}{x^2}\)
А далее \(dx\) перебрасываем в правую часть, после чего берем два интеграла:
\(ydy=\frac{3-x}{x^2}dx\), \(\int{ydy}=\int\frac{3-x}{x^2}dx\)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: Обыкновенные дифференциальные уравнения
∫ydy=∫\(\frac{3-x}{x^2}dx\)
Как первую часть разложить не пойму...а тут ∫\(\frac{3-x}{x^2}dx\) пусть t=3-x, \(\frac{dx}{x^2}\)=\(\frac{-1}{x}+C\)
тогда \(\int \frac{-t}{x}+C=\frac{-3+x}{x}+C=-3+C\)
или бред?
Как первую часть разложить не пойму...а тут ∫\(\frac{3-x}{x^2}dx\) пусть t=3-x, \(\frac{dx}{x^2}\)=\(\frac{-1}{x}+C\)
тогда \(\int \frac{-t}{x}+C=\frac{-3+x}{x}+C=-3+C\)
или бред?
Re: Обыкновенные дифференциальные уравнения
первый интеграл \(\int{ydy}\) табличный. А для второго интеграла делайте разложение:
\(\frac{3-x}{x^2}=\frac{3}{x^2}-\frac{x}{x^2}=3x^{-2}-\frac{1}{x}\)
\(\frac{3-x}{x^2}=\frac{3}{x^2}-\frac{x}{x^2}=3x^{-2}-\frac{1}{x}\)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: Обыкновенные дифференциальные уравнения
\(\int ydy=\frac{y^{1+1}}{1+1}+C=\frac{y^{2}}{2}+C\)
Re: Обыкновенные дифференциальные уравнения
Так? И что делать с условием у(1)=2?
- Вложения
-
- imgonline-com-ua-compress-by-sizeYoOdotwXKzVy.jpg (191.83 КБ) 7399 просмотров
Re: Обыкновенные дифференциальные уравнения
В принципе, решение более-менее норм, однако есть мелкие и средние огрехи вроде забытых скобок и модуля для логарифма. Константу, кстати, добавлять надо лишь к одной из частей равенства С учётом \(x^{-1}=\frac{1}{x}\), можно записать так:
\(\int\frac{3-x}{x^2}dx
=\int\left(3x^{-2}-\frac{1}{x}\right)dx
=3\int{x^{-2}}dx-\int\frac{dx}{x}
=-\frac{3}{x}-\ln|x|+C
\)
Ну и что касается самого уравнения, то для него получим:
\(\int\frac{3-x}{x^2}dx
=\int\left(3x^{-2}-\frac{1}{x}\right)dx
=3\int{x^{-2}}dx-\int\frac{dx}{x}
=-\frac{3}{x}-\ln|x|+C
\)
Ну и что касается самого уравнения, то для него получим:
\(\int{ydy}=\int\frac{3-x}{x^2}dx\),
\(\frac{y^2}{2}=-\frac{3}{x}-\ln|x|+C\),
\(\frac{y^2}{2}+\frac{3}{x}+\ln|x|=C\).
\(\frac{y^2}{2}=-\frac{3}{x}-\ln|x|+C\),
\(\frac{y^2}{2}+\frac{3}{x}+\ln|x|=C\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: Обыкновенные дифференциальные уравнения
Огромное спасибо Вам Добрый Волк!! Вы меня очень выручили!!!